1622.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkcije i skicirati njihove grafike (zadaci 266-267):

y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3
REŠENJE ZADATKA

Domen funkcije: Kako je data funkcija polinom drugog stepena, ona je definisana za sve realne brojeve.

Df=R=(−∞,+∞)D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom dobijamo kada zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y(0)=−02+2⋅0+3=3y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3

Nule funkcije (preseci sa x-osom) su rešenja kvadratne jednačine y=0. y = 0 .

−x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene:

x1,2=−b±b2−4ac2a=−2±22−4⋅(−1)⋅32⋅(−1)x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)}

Računamo vrednosti pod korenom.

x1,2=−2±4+12−2=−2±4−2x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm 4}{-2}

Dobijamo dve nule funkcije:

x1=−2+4−2=−1,x2=−2−4−2=3x_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3

Ekstremna vrednost (teme parabole): Pošto je koeficijent uz kvadratni član a=−1<0, a = -1 < 0 , funkcija ima maksimum. x-koordinatu temena računamo po formuli xT=−b2a. x_T = -\frac{b}{2a} .

xT=−22⋅(−1)=1x_T = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1

y-koordinatu temena dobijamo zamenom xT x_T u funkciju (ili preko formule 4ac−b24a \frac{4ac - b^2}{4a} ).

yT=−(1)2+2⋅1+3=4y_T = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 4

Teme parabole je tačka T(xT,yT). T(x_T, y_T) .

T(1,4)T(1, 4)

Znak funkcije: Parabola je okrenuta nadole (a<0 a < 0 ) i seče x-osu u x=−1 x = -1 i x=3. x = 3 .

y>0 za x∈(−1,3),y<0 za x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)y > 0 \text{ za } x \in (-1, 3), \quad y < 0 \text{ za } x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,3)x \in (-1, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
yy
−-
++
−-

Monotonost funkcije: Funkcija raste do x-koordinate temena, a zatim opada.

y↗ za x∈(−∞,1),y↘ za x∈(1,+∞)y \nearrow \text{ za } x \in (-\infty, 1), \quad y \searrow \text{ za } x \in (1, +\infty)

Na osnovu svih ispitanih svojstava, grafik je parabola okrenuta nadole sa temenom u T(1,4), T(1, 4) , koja seče x-osu u tačkama (−1,0) (-1, 0) i (3,0), (3, 0) , a y-osu u tački (0,3). (0, 3) .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti