TEKST ZADATKA
Odrediti parametar m tako da zbir kvadrata rešenja jednačine:
x2−mx+m−1=0;
bude minimalan.
REŠENJE ZADATKA
Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0, zbir i proizvod rešenja su dati sledećim relacijama:
x1+x2=−ab,x1⋅x2=ac Za datu jednačinu x2−mx+m−1=0 koeficijenti su a=1, b=−m i c=m−1, pa važi:
x1+x2=m,x1⋅x2=m−1 Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja na sledeći način:
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 Zamenom vrednosti iz Vijetovih formula u prethodni izraz dobijamo:
x12+x22=m2−2(m−1) Sređivanjem izraza dobijamo kvadratnu funkciju po parametru m:
f(m)=m2−2m+2 Proveravamo uslov da su rešenja realna, odnosno da je diskriminanta nenegativna (D≥0):
D=(−m)2−4⋅1⋅(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2 Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan, uslov D≥0 je ispunjen za svako realno m. Sada tražimo minimum funkcije f(m). Kvadratna funkcija oblika am2+bm+c (gde je a>0) dostiže minimum u temenu:
m=−2ab Za funkciju f(m)=m2−2m+2 koeficijenti su a=1 i b=−2. Računamo vrednost parametra m:
m=−2⋅1−2=1