1675.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Dat je skup funkcija: f(x)=(m−1)x2−2(m+1)x+m, f(x) = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m , m∈R m \in \mathbf{R} ; 1° Odrediti m m tako da bude f(x)<0 f(x) < 0 za sve x∈R. x \in \mathbf{R} . 2° Odrediti geometrijsko mesto temena parabola y=f(x). y = f(x) . 3° Da li postoji tačka koja pripada graficima svih funkcija datog skupa? Ako takva tačka postoji, odrediti je.

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi deo zadatka (1°). Kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c je strogo negativna za svako x∈R x \in \mathbf{R} ako i samo ako je koeficijent uz kvadratni član negativan i diskriminanta negativna.

{a<0D<0\begin{cases} a < 0 \\ D < 0 \end{cases}

Prvi uslov je da je koeficijent uz x2 x^2 manji od nule.

a=m−1<0  ⟹  m<1a = m - 1 < 0 \implies m < 1

Drugi uslov je da je diskriminanta manja od nule. Računamo diskriminantu date funkcije.

D=b2−4ac=[−2(m+1)]2−4(m−1)mD = b^2 - 4ac = [-2(m + 1)]^2 - 4(m - 1)m

Sređujemo izraz za diskriminantu.

D=4(m2+2m+1)−4(m2−m)=4m2+8m+4−4m2+4m=12m+4D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - m) = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 4m = 12m + 4

Postavljamo uslov da je diskriminanta negativna.

12m+4<0  ⟹  12m<−4  ⟹  m<−1312m + 4 < 0 \implies 12m < -4 \implies m < -\frac{1}{3}

Presek uslova m<1 m < 1 i m<−13 m < -\frac{1}{3} daje konačno rešenje za prvi deo zadatka.

m∈(−∞,−13)m \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)

Rešavamo drugi deo zadatka (2°). Koordinate temena parabole y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c su date formulama za xT x_T i yT. y_T .

T(xT,yT)=(−b2a,4ac−b24a)T(x_T, y_T) = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)

Računamo xT x_T za datu funkciju.

x=−−2(m+1)2(m−1)=m+1m−1x = -\frac{-2(m + 1)}{2(m - 1)} = \frac{m + 1}{m - 1}

Računamo yT y_T za datu funkciju, koristeći već izračunatu diskriminantu D=12m+4. D = 12m + 4 .

y=−D4a=−(12m+4)4(m−1)=−4(3m+1)4(m−1)=−3m−1m−1y = \frac{-D}{4a} = \frac{-(12m + 4)}{4(m - 1)} = \frac{-4(3m + 1)}{4(m - 1)} = \frac{-3m - 1}{m - 1}

Da bismo našli vezu između x x i y y nezavisno od m, m , izražavamo m m preko x. x .

x=m−1+2m−1=1+2m−1  ⟹  m−1=2x−1  ⟹  m=x+1x−1x = \frac{m - 1 + 2}{m - 1} = 1 + \frac{2}{m - 1} \implies m - 1 = \frac{2}{x - 1} \implies m = \frac{x + 1}{x - 1}

Zamenjujemo dobijeno m m u izraz za y. y .

y=−3(x+1x−1)−1x+1x−1−1y = \frac{-3\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) - 1}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}

Sređujemo dvojni razlomak kako bismo dobili jednačinu geometrijskog mesta tačaka.

y=−3x−3−x+1x−1x+1−x+1x−1=−4x−2x−12x−1=−4x−22=−2x−1y = \frac{\frac{-3x - 3 - x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} = \frac{\frac{-4x - 2}{x - 1}}{\frac{2}{x - 1}} = \frac{-4x - 2}{2} = -2x - 1

Primetimo da izraz za m m zahteva da je x≠1. x \neq 1 . Zato je geometrijsko mesto temena prava y=−2x−1 y = -2x - 1 bez tačke za koju je x=1. x = 1 .

y=−2x−1,x≠1y = -2x - 1, \quad x \neq 1

Rešavamo treći deo zadatka (3°). Tražimo tačku (x,y) (x, y) koja pripada grafiku za svako m. m . Zapisujemo jednačinu funkcije i grupišemo članove uz m. m .

y=mx2−x2−2mx−2x+m  ⟹  m(x2−2x+1)−(x2+2x+y)=0y = mx^2 - x^2 - 2mx - 2x + m \implies m(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + y) = 0

Da bi jednačina važila za svako m∈R, m \in \mathbf{R} , izrazi uz m m i slobodan član moraju istovremeno biti jednaki nuli.

{x2−2x+1=0−(x2+2x+y)=0\begin{cases} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ -(x^2 + 2x + y) = 0 \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu po x. x .

(x−1)2=0  ⟹  x=1(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1

Zamenjujemo x=1 x = 1 u drugu jednačinu da bismo našli y. y .

−(12+2⋅1+y)=0  ⟹  −3−y=0  ⟹  y=−3-(1^2 + 2 \cdot 1 + y) = 0 \implies -3 - y = 0 \implies y = -3

Zaključujemo da postoji tačka koja pripada graficima svih funkcija datog skupa i zapisujemo njene koordinate. Primetimo da je to upravo tačka koja je isključena iz geometrijskog mesta temena.

(x,y)=(1,−3)(x, y) = (1, -3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti