1676.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Dat je skup funkcija: f(x)=(m+1)x2−2(m−1)x+m−5, f(x) = (m + 1)x^2 - 2(m - 1)x + m - 5 , m∈R. m \in \mathbf{R} . 1° Odrediti m m tako da bude f(x)<0 f(x) < 0 za sve x∈R. x \in \mathbf{R} . 2° Odrediti geometrijsko mesto temena parabola y=f(x). y = f(x) . 3° Da li postoji tačka koja pripada graficima svih funkcija datog skupa? Ako takva tačka postoji, odrediti je.

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi deo zadatka (1°). Da bi kvadratna funkcija f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c bila strogo manja od nule za svako realno x, x , moraju biti ispunjeni uslovi da je parabola okrenuta nadole i da nema realne korene (ne seče x-osu).

a<0iD<0a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Iz date funkcije f(x)=(m+1)x2−2(m−1)x+m−5 f(x) = (m + 1)x^2 - 2(m - 1)x + m - 5 očitavamo koeficijente:

a=m+1,b=−2(m−1),c=m−5a = m + 1, \quad b = -2(m - 1), \quad c = m - 5

Primenjujemo prvi uslov a<0: a < 0 :

m+1<0  ⟹  m<−1m + 1 < 0 \implies m < -1

Računamo diskriminantu D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=[−2(m−1)]2−4(m+1)(m−5)D = [-2(m - 1)]^2 - 4(m + 1)(m - 5)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=4(m2−2m+1)−4(m2−4m−5)=4m2−8m+4−4m2+16m+20=8m+24D = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 4m - 5) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 16m + 20 = 8m + 24

Primenjujemo drugi uslov D<0: D < 0 :

8m+24<0  ⟹  8m<−24  ⟹  m<−38m + 24 < 0 \implies 8m < -24 \implies m < -3

Rešenje prvog dela zadatka je presek uslova m<−1 m < -1 i m<−3: m < -3 :

m∈(−∞,−3)m \in (-\infty, -3)

Rešavamo drugi deo zadatka (2°). Koordinate temena parabole T(xv,yv) T(x_v, y_v) date su formulama:

xv=−b2a,yv=4ac−b24a=−D4ax_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}

Zamenjujemo koeficijente da bismo izrazili xv x_v preko m: m :

xv=−−2(m−1)2(m+1)=m−1m+1x_v = -\frac{-2(m - 1)}{2(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}

Zamenjujemo koeficijente da bismo izrazili yv y_v preko m: m :

yv=−8m+244(m+1)=−4(2m+6)4(m+1)=−2m+6m+1y_v = -\frac{8m + 24}{4(m + 1)} = -\frac{4(2m + 6)}{4(m + 1)} = -\frac{2m + 6}{m + 1}

Da bismo našli vezu između xv x_v i yv y_v (jednačinu krive kojoj pripadaju temena), izražavamo m m iz jednačine za xv: x_v :

xv(m+1)=m−1  ⟹  xvm+xv=m−1  ⟹  m(xv−1)=−xv−1  ⟹  m=xv+11−xvx_v(m + 1) = m - 1 \implies x_v m + x_v = m - 1 \implies m(x_v - 1) = -x_v - 1 \implies m = \frac{x_v + 1}{1 - x_v}

Zamenjujemo dobijeno m m u izraz za yv: y_v :

yv=−2(xv+11−xv)+6xv+11−xv+1y_v = -\frac{2\left(\frac{x_v + 1}{1 - x_v}\right) + 6}{\frac{x_v + 1}{1 - x_v} + 1}

Sređujemo dvojni razlomak svodeći brojilac i imenilac na zajednički imenilac:

yv=−2xv+2+6(1−xv)1−xvxv+1+1−xv1−xv=−−4xv+81−xv21−xvy_v = -\frac{\frac{2x_v + 2 + 6(1 - x_v)}{1 - x_v}}{\frac{x_v + 1 + 1 - x_v}{1 - x_v}} = -\frac{\frac{-4x_v + 8}{1 - x_v}}{\frac{2}{1 - x_v}}

Skraćivanjem dobijamo jednačinu geometrijskog mesta temena:

yv=−−4xv+82=−(−2xv+4)=2xv−4y_v = -\frac{-4x_v + 8}{2} = -(-2x_v + 4) = 2x_v - 4

Geometrijsko mesto temena je prava y=2x−4. y = 2x - 4 . Pošto je m∈R∖{−1} m \in \mathbf{R} \setminus \{-1\} (da bi funkcija bila kvadratna), iz m=x+11−x m = \frac{x + 1}{1 - x} sledi da je x≠1, x \neq 1 , pa tačka (1,−2) (1, -2) ne pripada ovom geometrijskom mestu.

y=2x−4,x≠1y = 2x - 4, \quad x \neq 1

Rešavamo treći deo zadatka (3°). Da bismo našli tačku koja pripada svim parabolama, napisaćemo jednačinu tako da grupišemo članove uz parametar m. m .

y=mx2+x2−2mx+2x+m−5y = m x^2 + x^2 - 2mx + 2x + m - 5

Grupišemo članove koji sadrže m m i one koji ne sadrže:

m(x2−2x+1)+(x2+2x−5−y)=0m(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x - 5 - y) = 0

Da bi jednačina važila za svako m∈R, m \in \mathbf{R} , izraz uz m m i slobodan član moraju istovremeno biti jednaki nuli:

{x2−2x+1=0x2+2x−5−y=0\begin{cases} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x^2 + 2x - 5 - y = 0 \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu sistema:

(x−1)2=0  ⟹  x=1(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1

Zamenjujemo x=1 x = 1 u drugu jednačinu da bismo našli y: y :

12+2(1)−5−y=0  ⟹  1+2−5−y=0  ⟹  y=−21^2 + 2(1) - 5 - y = 0 \implies 1 + 2 - 5 - y = 0 \implies y = -2

Zajednička tačka za sve funkcije datog skupa postoji i njene koordinate su:

P(1,−2)P(1, -2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti