1679.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Od svih pravouglih trouglova čiji je zbir kateta jednak m, m , odrediti onaj kod koga je: dužina hipotenuze najmanja;

REŠENJE ZADATKA

Neka su a a i b b katete pravouglog trougla. Prema uslovu zadatka, njihov zbir je jednak m, m , pa možemo izraziti jednu katetu preko druge.

b=m−ab = m - a

Kvadrat hipotenuze c c računamo pomoću Pitagorine teoreme.

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

Zamenom izraza za b b u jednačinu za kvadrat hipotenuze dobijamo funkciju koja zavisi samo od dužine katete a. a .

c2=a2+(m−a)2c^2 = a^2 + (m - a)^2

Kvadriramo binom i sređujemo izraz kako bismo dobili kvadratnu funkciju.

c2=a2+m2−2ma+a2=2a2−2ma+m2c^2 = a^2 + m^2 - 2ma + a^2 = 2a^2 - 2ma + m^2

Pošto je dužina hipotenuze pozitivna vrednost, ona će biti najmanja kada je njen kvadrat najmanji. Zato posmatramo kvadratnu funkciju f(a)=2a2−2ma+m2. f(a) = 2a^2 - 2ma + m^2 .

f(a)=2a2−2ma+m2f(a) = 2a^2 - 2ma + m^2

Kvadratna funkcija oblika Ax2+Bx+C Ax^2 + Bx + C dostiže svoj minimum za x=−B2A x = -\frac{B}{2A} kada je A>0. A > 0 . U našem slučaju koeficijenti su A=2, A = 2 , B=−2m B = -2m i C=m2. C = m^2 .

a=−−2m2⋅2a = -\frac{-2m}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost katete a a za koju se dostiže minimum.

a=2m4=m2a = \frac{2m}{4} = \frac{m}{2}

Sada računamo dužinu druge katete b. b .

b=m−m2=m2b = m - \frac{m}{2} = \frac{m}{2}

Zaključujemo da najmanju hipotenuzu ima jednakokraki pravougli trougao čije su katete jednake.

a=b=m2a = b = \frac{m}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti