TEKST ZADATKA
Data je kvadratna funkcija f(x)=(m−1)x2−2(m+1)x+m. Odrediti realan parametar m tako da za sve x∈R važi f(x)<0. Zatim naći teme one od tih parabola koja prolazi kroz tačku A(−1,−7).
REŠENJE ZADATKA
Da bi kvadratna funkcija bila negativna za svako realno x, moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent (uz x2) mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.
{a<0D<0 Postavljamo i rešavamo prvi uslov, a<0.
m−1<0⟹m<1 Računamo diskriminantu D=b2−4ac.
D=[−2(m+1)]2−4(m−1)m=4(m2+2m+1)−4(m2−m)=4m2+8m+4−4m2+4m=12m+4 Postavljamo i rešavamo drugi uslov, D<0.
12m+4<0⟹12m<−4⟹m<−31 Presek uslova m<1 i m<−1/3 daje konačan uslov za parametar m tako da funkcija bude uvek negativna.
m∈(−∞,−31) Sada tražimo parabolu koja prolazi kroz tačku A(−1,−7). Zamenjujemo koordinate tačke u jednačinu funkcije.
f(−1)=−7⟹(m−1)(−1)2−2(m+1)(−1)+m=−7 Rešavamo dobijenu jednačinu po m.
m−1+2m+2+m=−7⟹4m+1=−7⟹4m=−8⟹m=−2 Proveravamo da li m=−2 pripada nađenom intervalu m∈(−∞,−1/3). Pošto pripada, zamenjujemo m=−2 u početnu funkciju da bismo dobili konkretnu parabolu.
f(x)=(−2−1)x2−2(−2+1)x+(−2)=−3x2+2x−2 Tražimo teme parabole T(xT,yT). Prvo računamo x-koordinatu temena po formuli xT=−2ab.
xT=−2(−3)2=31 Zatim računamo y-koordinatu temena po formuli yT=4a4ac−b2.
yT=4(−3)4(−3)(−2)−22=−1224−4=−1220=−35 Koordinate temena tražene parabole su:
T(31,−35)