3101.

29.g

TEKST ZADATKA

Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva:

(∃x)(∃y)(∀z)(xz+y≠0)(\exists x)(\exists y)(\forall z)(xz + y \neq 0)
REŠENJE ZADATKA

Da bi formula bila tačna, potrebno je pronaći bar jedan par realnih brojeva x x i y y takav da za svaki realan broj z z vrednost izraza xz+y xz + y bude različita od nule.

Ako izaberemo x=0, x = 0 , izraz xz+y xz + y postaje nezavisan od promenljive z. z .

0⋅z+y=y0 \cdot z + y = y

Sada je potrebno izabrati y y tako da izraz bude različit od nule. Možemo izabrati bilo koji realan broj različit od nule, na primer y=1. y = 1 .

y=1≠0y = 1 \neq 0

Za izabrane vrednosti x=0 x = 0 i y=1, y = 1 , izraz xz+y xz + y je jednak 1 za svaki realan broj z. z .

0⋅z+1=1≠00 \cdot z + 1 = 1 \neq 0

Pošto smo pronašli par (x,y) (x, y) koji ispunjava uslov za svako z, z , zaključujemo da je data formula tačna.

⊤\top