4377.

691.a

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po nepoznatoj x: x :

ax−a−1x+a+4a2−4a+2a2−x2=0\frac{a}{x - a} - \frac{1}{x + a} + \frac{4a^2 - 4a + 2}{a^2 - x^2} = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x≠aix≠−ax \neq a \quad \text{i} \quad x \neq -a

Primetimo da je imenilac trećeg razlomka a2−x2=−(x2−a2)=−(x−a)(x+a). a^2 - x^2 = -(x^2 - a^2) = -(x - a)(x + a) . Zamenjujemo ovo u jednačinu.

ax−a−1x+a−4a2−4a+2(x−a)(x+a)=0\frac{a}{x - a} - \frac{1}{x + a} - \frac{4a^2 - 4a + 2}{(x - a)(x + a)} = 0

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem (x−a)(x+a) (x - a)(x + a) kako bismo se oslobodili razlomaka.

a(x+a)−1(x−a)−(4a2−4a+2)=0a(x + a) - 1(x - a) - (4a^2 - 4a + 2) = 0

Oslobađamo se zagrada.

ax+a2−x+a−4a2+4a−2=0ax + a^2 - x + a - 4a^2 + 4a - 2 = 0

Grupišemo članove koji sadrže x x na levoj strani, a ostale prebacujemo na desnu stranu.

x(a−1)=3a2−5a+2x(a - 1) = 3a^2 - 5a + 2

Faktorišemo kvadratni trinom na desnoj strani grupisanjem članova: 3a2−5a+2=3a2−3a−2a+2=3a(a−1)−2(a−1)=(a−1)(3a−2). 3a^2 - 5a + 2 = 3a^2 - 3a - 2a + 2 = 3a(a - 1) - 2(a - 1) = (a - 1)(3a - 2) .

x(a−1)=(a−1)(3a−2)x(a - 1) = (a - 1)(3a - 2)

Analiziramo prvi slučaj: kada je a−1=0, a - 1 = 0 , odnosno a=1. a = 1 . Zamenom u jednačinu dobijamo x⋅0=0, x \cdot 0 = 0 , što je tačno za svako realno x. x . Međutim, zbog početnih uslova x≠±a, x \neq \pm a , za a=1 a = 1 važi x≠1 x \neq 1 i x≠−1. x \neq -1 .

x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Analiziramo drugi slučaj: kada je a≠1. a \neq 1 . Tada možemo podeliti jednačinu sa a−1. a - 1 .

x=3a−2x = 3a - 2

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava početne uslove x≠a x \neq a i x≠−a. x \neq -a . Prvi uslov 3a−2=a 3a - 2 = a daje a=1, a = 1 , što je suprotno pretpostavci. Drugi uslov 3a−2=−a 3a - 2 = -a daje 4a=2, 4a = 2 , odnosno a=12. a = \frac{1}{2} . Ako je a=12, a = \frac{1}{2} , rešenje nije validno.

a=12  ⟹  x∈∅a = \frac{1}{2} \implies x \in \emptyset

Zapisujemo konačan zaključak koji obuhvata sve analizirane slučajeve.

{x∈R∖{−1,1},za a=1x∈∅,za a=12x=3a−2,za a∈R∖{1,12}\begin{cases} x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, & \text{za } a = 1 \\ x \in \emptyset, & \text{za } a = \frac{1}{2} \\ x = 3a - 2, & \text{za } a \in \mathbb{R} \setminus \left\{1, \frac{1}{2}\right\} \end{cases}