4385.

689.b

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x x u zavisnosti od realnih parametara a a i b: b :

(3a−x)(a−b)+2ax=4b(a+x)(3a - x)(a - b) + 2ax = 4b(a + x)
REŠENJE ZADATKA

Oslobađamo se zagrada množenjem članova na obe strane jednačine.

3a2−3ab−ax+bx+2ax=4ab+4bx3a^2 - 3ab - ax + bx + 2ax = 4ab + 4bx

Grupišemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a preostale članove na desnu stranu.

−ax+bx+2ax−4bx=4ab−3a2+3ab-ax + bx + 2ax - 4bx = 4ab - 3a^2 + 3ab

Sređujemo obe strane jednačine sabiranjem sličnih monoma.

ax−3bx=7ab−3a2ax - 3bx = 7ab - 3a^2

Izvlačimo zajednički činilac x x na levoj strani, a zajednički činilac a a na desnoj strani.

x(a−3b)=a(7b−3a)x(a - 3b) = a(7b - 3a)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti izraza uz nepoznatu x. x . Prvi slučaj je kada je a−3b≠0, a - 3b \neq 0 , odnosno a≠3b. a \neq 3b . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x=a(7b−3a)a−3b,za a≠3bx = \frac{a(7b - 3a)}{a - 3b}, \quad \text{za } a \neq 3b

Drugi slučaj je kada je a−3b=0, a - 3b = 0 , odnosno a=3b. a = 3b . Zamenjujemo a=3b a = 3b u jednačinu x(a−3b)=a(7b−3a). x(a - 3b) = a(7b - 3a) .

x⋅0=3b(7b−3⋅3b)x \cdot 0 = 3b(7b - 3 \cdot 3b)

Sređujemo dobijeni izraz na desnoj strani.

0=3b(7b−9b)  ⟹  0=3b(−2b)  ⟹  0=−6b20 = 3b(7b - 9b) \implies 0 = 3b(-2b) \implies 0 = -6b^2

Analiziramo dobijenu jednakost 0=−6b2. 0 = -6b^2 . Ako je b=0 b = 0 (tada je i a=0 a = 0 ), jednačina postaje 0=0, 0 = 0 , što znači da svaki realan broj x x jeste rešenje.

x∈R,za a=0 i b=0x \in \mathbb{R}, \quad \text{za } a = 0 \text{ i } b = 0

Ako je b≠0 b \neq 0 (uz uslov a=3b a = 3b ), dobijamo nemoguću jednakost jer je −6b2≠0, -6b^2 \neq 0 , pa jednačina nema rešenja.

x∈∅,za a=3b i b≠0x \in \emptyset, \quad \text{za } a = 3b \text{ i } b \neq 0