4401.

692.g

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

x+∣x∣+∣x−1∣=2x + |x| + |x-1| = 2
REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣x∣. |x| .

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣x−1∣. |x-1| .

∣x−1∣={x−1,za x−1≥0−(x−1),za x−1<0|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x-1 \ge 0 \\ -(x-1), & \text{za } x-1 < 0 \end{cases}

Kritične tačke u kojima izrazi pod apsolutnom vrednošću menjaju znak su x=0 x = 0 i x−1=0  ⟹  x=1. x - 1 = 0 \implies x = 1 . Ove tačke dele brojevnu pravu na tri intervala.

x∈(−∞,0),x∈[0,1),x∈[1,+∞)x \in (-\infty, 0), \quad x \in [0, 1), \quad x \in [1, +\infty)

Prikazujemo znakove izraza pod apsolutnom vrednošću po intervalima u tabeli.

x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
x∈[0,1)x \in [0, 1)
x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)
xx
−-
++
++
x−1x-1
−-
−-
++

Slučaj 1: Posmatramo prvi interval x∈(−∞,0). x \in (-\infty, 0) . Na ovom intervalu oba izraza su negativna, pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti sa predznakom minus.

x+(−x)+(−(x−1))=2x + (-x) + (-(x-1)) = 2

Rešavamo jednačinu za prvi interval.

x−x−x+1=2  ⟹  −x=1  ⟹  x=−1x - x - x + 1 = 2 \implies -x = 1 \implies x = -1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto −1∈(−∞,0), -1 \in (-\infty, 0) , ovo jeste validno rešenje.

x1=−1x_1 = -1

Slučaj 2: Posmatramo drugi interval x∈[0,1). x \in [0, 1) . Na ovom intervalu je x≥0 x \ge 0 (pozitivan znak), a x−1<0 x-1 < 0 (negativan znak).

x+x+(−(x−1))=2x + x + (-(x-1)) = 2

Rešavamo jednačinu za drugi interval.

2x−x+1=2  ⟹  x+1=2  ⟹  x=12x - x + 1 = 2 \implies x + 1 = 2 \implies x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto 1∉[0,1), 1 \notin [0, 1) , ovo rešenje odbacujemo u ovom slučaju.

x≠1 za x∈[0,1)x \neq 1 \text{ za } x \in [0, 1)

Slučaj 3: Posmatramo treći interval x∈[1,+∞). x \in [1, +\infty) . Na ovom intervalu su oba izraza pozitivna (ili nula), pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti sa predznakom plus.

x+x+(x−1)=2x + x + (x-1) = 2

Rešavamo jednačinu za treći interval.

3x−1=2  ⟹  3x=3  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies 3x = 3 \implies x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto 1∈[1,+∞), 1 \in [1, +\infty) , ovo jeste validno rešenje.

x2=1x_2 = 1

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih validnih slučajeva.

x∈{−1,1}x \in \{-1, 1\}