4402.

692.ž

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu: x2+x3+2x8=9 |x-2| + |x-3| + |2x-8| = 9

x2+x3+2x8=9|x-2| + |x-3| + |2x-8| = 9

REŠENJE ZADATKA

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

x2={x2,za x20(x2),za x2<0|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

x3={x3,za x30(x3),za x3<0|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \end{cases}

Definišemo treću apsolutnu vrednost:

2x8={2x8,za 2x80(2x8),za 2x8<0|2x-8| = \begin{cases} 2x-8, & \text{za } 2x-8 \ge 0 \\ -(2x-8), & \text{za } 2x-8 < 0 \end{cases}

Izjednačavanjem izraza pod apsolutnim vrednostima sa nulom, dobijamo kritične tačke x=2, x=2 , x=3 x=3 i x=4. x=4 . One dele brojevnu pravu na četiri intervala.

x(,2)[2,3)[3,4)[4,+)x \in (-\infty, 2) \cup [2, 3) \cup [3, 4) \cup [4, +\infty)
x(,2)x \in (-\infty, 2)
x(2,3)x \in (2, 3)
x(3,4)x \in (3, 4)
x(4,+)x \in (4, +\infty)
x2x-2
-
++
++
++
x3x-3
-
-
++
++
2x82x-8
-
-
-
++

Prvi slučaj: x(,2). x \in (-\infty, 2) . Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su negativni, pa menjaju znak.

(x2)(x3)(2x8)=9x+2x+32x+8=94x+13=94x=4x=1\begin{aligned} -(x-2) - (x-3) - (2x-8) &= 9 \\ -x + 2 - x + 3 - 2x + 8 &= 9 \\ -4x + 13 &= 9 \\ -4x &= -4 \\ x &= 1 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu (,2). (-\infty, 2) . Pošto je 1<2, 1 < 2 , ovo rešenje prihvatamo.

x1=1x_1 = 1

Drugi slučaj: x[2,3). x \in [2, 3) . Prvi izraz je pozitivan, a ostala dva su negativna.

(x2)(x3)(2x8)=9x2x+32x+8=92x+9=92x=0x=0\begin{aligned} (x-2) - (x-3) - (2x-8) &= 9 \\ x - 2 - x + 3 - 2x + 8 &= 9 \\ -2x + 9 &= 9 \\ -2x &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu [2,3). [2, 3) . Pošto 0[2,3), 0 \notin [2, 3) , ovo rešenje odbacujemo.

x=0[2,3)x = 0 \notin [2, 3)

Treći slučaj: x[3,4). x \in [3, 4) . Prva dva izraza su pozitivna, a treći je negativan.

(x2)+(x3)(2x8)=9x2+x32x+8=93=9\begin{aligned} (x-2) + (x-3) - (2x-8) &= 9 \\ x - 2 + x - 3 - 2x + 8 &= 9 \\ 3 &= 9 \end{aligned}

Dobili smo netačnu jednakost, što znači da jednačina nema rešenja na ovom intervalu.

393 \neq 9

Četvrti slučaj: x[4,+). x \in [4, +\infty) . Svi izrazi pod apsolutnim vrednostima su pozitivni, pa ne menjaju znak.

(x2)+(x3)+(2x8)=9x2+x3+2x8=94x13=94x=22x=224=112\begin{aligned} (x-2) + (x-3) + (2x-8) &= 9 \\ x - 2 + x - 3 + 2x - 8 &= 9 \\ 4x - 13 &= 9 \\ 4x &= 22 \\ x &= \frac{22}{4} = \frac{11}{2} \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu [4,+). [4, +\infty) . Pošto je 112=5.54, \frac{11}{2} = 5.5 \ge 4 , ovo rešenje prihvatamo.

x2=112x_2 = \frac{11}{2}

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih slučajeva.

x{1,112}x \in \left\{ 1, \frac{11}{2} \right\}