4412. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Autobus je vozio iz Beograda za Pančevo prosečnom brzinom $30 \text{ km/h} ,$ a zatim se vratio nazad. Kojom prosečnom brzinom se vratio ako je prosečna brzina na čitavom putu iznosila $35 \text{ km/h} ?$

REŠENJE ZADATKA

Neka je rastojanje između Beograda i Pančeva jednako $s .$ Ukupan put koji je autobus prešao u oba smera iznosi $2s .$

S_{uk} = 2s

Vreme potrebno za put od Beograda do Pančeva računamo kao količnik pređenog puta i brzine $v_1 = 30 \text{ km/h} .$

t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{30}

Neka je brzina u povratku $v_2 .$ Vreme potrebno za povratak je:

t_2 = \frac{s}{v_2}

Ukupno vreme putovanja je zbir vremena u oba smera:

t_{uk} = t_1 + t_2 = \frac{s}{30} + \frac{s}{v_2}

Prosečna brzina na celom putu definisana je kao količnik ukupnog puta i ukupnog vremena. Znamo da je prosečna brzina $v_{sr} = 35 \text{ km/h} .$

v_{sr} = \frac{S_{uk}}{t_{uk}} = \frac{2s}{\frac{s}{30} + \frac{s}{v_2}} = 35

Skratimo razlomak sa $s$ (pošto je $s > 0$ ) i dobijamo jednačinu po $v_2 :$

\frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{v_2}} = 35

Izrazimo zbir u imeniocu:

\frac{1}{30} + \frac{1}{v_2} = \frac{2}{35}

Prebacimo $\frac{1}{30}$ na desnu stranu:

\frac{1}{v_2} = \frac{2}{35} - \frac{1}{30}

Nađimo najmanji zajednički sadržalac za imenioce $35$ i $30 .$ To je $210 .$ Proširimo razlomke:

\frac{1}{v_2} = \frac{12}{210} - \frac{7}{210}

Oduzmemo brojioce:

\frac{1}{v_2} = \frac{5}{210}

Skratimo razlomak sa $5 :$

\frac{1}{v_2} = \frac{1}{42}

Odavde sledi da je brzina autobusa u povratku:

v_2 = 42 \text{ km/h}

693