4413.

691.g

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x: x :

x2ax+2a=xax+7a\frac{x-2a}{x+2a} = \frac{x-a}{x+7a}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x+2a0    x2ax+2a \neq 0 \implies x \neq -2a

Takođe, drugi imenilac mora biti različit od nule:

x+7a0    x7ax+7a \neq 0 \implies x \neq -7a

Množimo jednačinu unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka:

(x2a)(x+7a)=(xa)(x+2a)(x-2a)(x+7a) = (x-a)(x+2a)

Množimo polinome na obe strane jednačine:

x2+7ax2ax14a2=x2+2axax2a2x^2 + 7ax - 2ax - 14a^2 = x^2 + 2ax - ax - 2a^2

Sređujemo dobijene izraze:

x2+5ax14a2=x2+ax2a2x^2 + 5ax - 14a^2 = x^2 + ax - 2a^2

Oduzimamo x2 x^2 sa obe strane jednačine:

5ax14a2=ax2a25ax - 14a^2 = ax - 2a^2

Grupišemo članove sa x x na levu stranu, a ostale na desnu:

5axax=14a22a25ax - ax = 14a^2 - 2a^2

Sređujemo obe strane:

4ax=12a24ax = 12a^2

Delimo jednačinu sa 4a 4a (uz pretpostavku da je a0 a \neq 0 ):

x=12a24ax = \frac{12a^2}{4a}

Skraćujemo razlomak i dobijamo rešenje:

x=3ax = 3a

Proveravamo da li rešenje zadovoljava početne uslove. Za a0 a \neq 0 važi 3a2a 3a \neq -2a i 3a7a, 3a \neq -7a , pa je rešenje prihvatljivo.

x=3a,a0x = 3a, \quad a \neq 0