4415.

691.d

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu sa parametrom a: a :

2x+a−3x−a+5ax2−a2=0\frac{2}{x+a} - \frac{3}{x-a} + \frac{5a}{x^2-a^2} = 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačina bila definisana, imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x+a≠0ix−a≠0  ⟹  x≠−aix≠ax+a \neq 0 \quad \text{i} \quad x-a \neq 0 \implies x \neq -a \quad \text{i} \quad x \neq a

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na treći imenilac.

x2−a2=(x−a)(x+a)x^2-a^2 = (x-a)(x+a)

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem, odnosno sa (x−a)(x+a). (x-a)(x+a) .

2(x−a)−3(x+a)+5a=02(x-a) - 3(x+a) + 5a = 0

Oslobađamo se zagrada množenjem.

2x−2a−3x−3a+5a=02x - 2a - 3x - 3a + 5a = 0

Grupišemo slične članove.

−x−5a+5a=0-x - 5a + 5a = 0

Rešavamo jednačinu po nepoznatoj x. x .

−x=0  ⟹  x=0-x = 0 \implies x = 0

Proveravamo dobijeno rešenje u odnosu na uslove definisanosti x≠a x \neq a i x≠−a. x \neq -a . Ako je a=0, a = 0 , tada bi rešenje bilo x=0=a, x = 0 = a , što nije dozvoljeno jer bi imenilac bio nula.

Za a=0  ⟹  jednacˇina nema resˇenja\text{Za } a = 0 \implies \text{jednačina nema rešenja}

Ako je a≠0, a \neq 0 , dobijeno rešenje x=0 x = 0 je validno jer zadovoljava uslove definisanosti.

Za a≠0  ⟹  x=0\text{Za } a \neq 0 \implies x = 0