2223. Logaritamska funkcija i njen grafik

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u analizi funkcije je određivanje domena. Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne vrednosti argumenta.

D_f: x > 0 \implies x \in (0, +\infty)

Ispitujemo bazu logaritma. Pošto je baza $a = 1/2 ,$ a to je vrednost između 0 i 1, funkcija je monotono opadajuća na celom domenu.

a = \frac{1}{2} < 1 \implies y \downarrow

Računamo nulu funkcije, odnosno tačku u kojoj grafik seče x-osu.

\log_{1/2} x = 0 \implies x = (1/2)^0 \implies x = 1

Računamo vrednosti funkcije za nekoliko karakterističnih tačaka kako bismo preciznije skicirali grafik.

\begin{aligned} &x = \frac{1}{4} \implies y = \log_{1/2} \frac{1}{4} = 2 \\ &x = \frac{1}{2} \implies y = \log_{1/2} \frac{1}{2} = 1 \\ &x = 2 \implies y = \log_{1/2} 2 = -1 \\ &x = 4 \implies y = \log_{1/2} 4 = -2 \end{aligned}

Ispitujemo ponašanje funkcije u blizini nule i asimptotu. Kako se $x$ približava nuli sa desne strane, vrednost funkcije teži beskonačnosti, pa je y-osa vertikalna asimptota.

x \to 0^+ \implies y \to +\infty

Na osnovu dobijenih tačaka i osobina (opadajuća funkcija, prolazi kroz (1,0), vertikalna asimptota $x=0$ ), skiciramo grafik.

524.a