2330.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3log⁡x4+2log⁡4x4+3log⁡16x4=03\log_x 4 + 2\log_{4x} 4 + 3\log_{16x} 4 = 0
REŠENJE ZADATKA

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti veća od nule i različita od jedan.

x>0,x≠1,4x≠1,16x≠1x > 0, \quad x \neq 1, \quad 4x \neq 1, \quad 16x \neq 1

Iz uslova dobijamo da x x ne sme biti 1, 14 \frac{1}{4} i 116. \frac{1}{16} .

x∈(0,116)∪(116,14)∪(14,1)∪(1,+∞)x \in \left(0, \frac{1}{16}\right) \cup \left(\frac{1}{16}, \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup (1, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma log⁡ba=1log⁡ab \log_b a = \frac{1}{\log_a b} da bismo prešli na istu osnovu 4.

3log⁡4x+2log⁡4(4x)+3log⁡4(16x)=0\frac{3}{\log_4 x} + \frac{2}{\log_4 (4x)} + \frac{3}{\log_4 (16x)} = 0

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay. \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y .

3log⁡4x+2log⁡44+log⁡4x+3log⁡416+log⁡4x=0\frac{3}{\log_4 x} + \frac{2}{\log_4 4 + \log_4 x} + \frac{3}{\log_4 16 + \log_4 x} = 0

Znamo da je log⁡44=1 \log_4 4 = 1 i log⁡416=2. \log_4 16 = 2 . Uvodimo smenu t=log⁡4x. t = \log_4 x .

3t+21+t+32+t=0\frac{3}{t} + \frac{2}{1+t} + \frac{3}{2+t} = 0

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem t(t+1)(t+2), t(t+1)(t+2) , uz uslov da je t≠0,t≠−1,t≠−2, t \neq 0, t \neq -1, t \neq -2 , što je već obuhvaćeno domenom.

3(t+1)(t+2)+2t(t+2)+3t(t+1)=03(t+1)(t+2) + 2t(t+2) + 3t(t+1) = 0

Množimo polinome i grupišemo slične članove.

3(t2+3t+2)+2t2+4t+3t2+3t=03(t^2 + 3t + 2) + 2t^2 + 4t + 3t^2 + 3t = 0

Sređujemo jednačinu do kvadratne forme i delimo sa 2.

8t2+16t+6=0/:2  ⟹  4t2+8t+3=08t^2 + 16t + 6 = 0 \quad / : 2 \implies 4t^2 + 8t + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=−8±82−4⋅4⋅32⋅4=−8±64−488=−8±48t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=−128=−32,t2=−48=−12t_1 = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}, \quad t_2 = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}

Vraćamo smenu log⁡4x=t \log_4 x = t za prvo rešenje i računamo x. x .

log⁡4x=−32  ⟹  x=4−32=(22)−32=2−3=18\log_4 x = -\frac{3}{2} \implies x = 4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}

Vraćamo smenu za drugo rešenje i računamo x. x .

log⁡4x=−12  ⟹  x=4−12=(22)−12=2−1=12\log_4 x = -\frac{1}{2} \implies x = 4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu. Pošto su oba rešenja veća od nule i različita od 1, 14 \frac{1}{4} i 116, \frac{1}{16} , oba su validna.

x∈{18,12}x \in \left\{ \frac{1}{8}, \frac{1}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti