2329.

Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argumenti logaritama moraju biti pozitivni. Takođe, imenilac ne sme biti nula:

Rešavanjem ovog sistema nejednačina dobijamo uslove za domen:

Koristimo osobinu promene osnove logaritma $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ da bismo izrazili $\log_x 2$ preko osnove 4:

Znamo da je $\log_4 2 = \frac{1}{2} ,$ pa to zamenjujemo u prethodni izraz:

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

Skraćujemo dvojke u drugom sabirku:

Množimo celu jednačinu sa $\log_4 x$ (što je dozvoljeno jer $x \neq 1 ,$ pa $\log_4 x \neq 0$):

Primenjujemo osobinu zbira logaritama sa istom osnovom $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy) :$

Koristimo definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b$ da bismo prešli na algebarsku jednačinu:

Sređujemo jednačinu:

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku:

Računamo rešenja kvadratne jednačine:

Dobijamo dva rešenja:

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu $x \in (0, 1) \cup (1, 10) .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov, pa su konačna rešenja: