2346. Logaritamske jednačine

Zbog prisustva logaritma, mora biti ispunjen uslov da je argument logaritma strogo pozitivan:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 2:

\log_2 (x^{1+\log_2 x}) = \log_2 4

Primenjujemo osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ na levu stranu, a desnu stranu računamo kao $\log_2 2^2 = 2 :$

(1+\log_2 x) \log_2 x = 2

Uvodimo smenu $t = \log_2 x :$

(1+t)t = 2

Množenjem i prebacivanjem svih članova na levu stranu dobijamo kvadratnu jednačinu:

t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = 1, \quad t_2 = -2

Vraćamo smenu za prvo rešenje:

\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

\log_2 x = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 ,$ pa je konačan skup rešenja:

x \in \left\{ \frac{1}{4}, 2 \right\}

2346.Logaritamske jednačine