2347. Logaritamske jednačine

Zbog logaritma i osnove stepena, jednačina je definisana za:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine sa osnovom 10 (dekadni logaritam):

\lg(x^{1+\lg x}) = \lg(10x)

Primenjujemo osobine logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ na levoj strani i $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ na desnoj strani:

(1+\lg x)\lg x = \lg 10 + \lg x

Znamo da je $\lg 10 = 1 ,$ pa jednačina postaje:

(1+\lg x)\lg x = 1 + \lg x

Uvodimo smenu $t = \lg x :$

(1+t)t = 1 + t

Množimo i sređujemo jednačinu:

t + t^2 = 1 + t

Oduzimanjem $t$ sa obe strane dobijamo:

t^2 = 1

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

t_1 = 1, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 :$

\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -1 :$

\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = \frac{1}{10}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Skup rešenja je:

x \in \left\{ \frac{1}{10}, 10 \right\}

2347.Logaritamske jednačine