4010.

612.e

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: 2x4−3x3−8x2+12x 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x i 6x3−15x2+6x. 6x^3 - 15x^2 + 6x .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti prvi polinom P(x)=2x4−3x3−8x2+12x P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x na činioce grupisanjem članova.

P(x)=x3(2x−3)−4x(2x−3)=(2x−3)(x3−4x)P(x) = x^3(2x - 3) - 4x(2x - 3) = (2x - 3)(x^3 - 4x)

Sada izvlačimo zajednički član x x iz drugog faktora i primenjujemo razliku kvadrata.

P(x)=(2x−3)⋅x(x2−4)=x(2x−3)(x−2)(x+2)P(x) = (2x - 3) \cdot x(x^2 - 4) = x(2x - 3)(x - 2)(x + 2)

Zatim rastavljamo drugi polinom Q(x)=6x3−15x2+6x Q(x) = 6x^3 - 15x^2 + 6x na činioce izvlačenjem zajedničkog člana 3x. 3x .

Q(x)=3x(2x2−5x+2)Q(x) = 3x(2x^2 - 5x + 2)

Rastavljamo kvadratni trinom 2x2−5x+2 2x^2 - 5x + 2 nalaženjem nula ili rastavljanjem srednjeg člana.

2x2−4x−x+2=2x(x−2)−1(x−2)=(x−2)(2x−1)2x^2 - 4x - x + 2 = 2x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(2x - 1)

Konačan rastavljen oblik polinoma Q(x) Q(x) je:

Q(x)=3x(x−2)(2x−1)Q(x) = 3x(x - 2)(2x - 1)

Upoređujemo faktore oba polinoma kako bismo pronašli zajedničke činioce.

P(x)=x⋅(2x−3)⋅(x−2)⋅(x+2)Q(x)=3⋅x⋅(x−2)⋅(2x−1)\begin{aligned} P(x) &= x \cdot (2x - 3) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) \\ Q(x) &= 3 \cdot x \cdot (x - 2) \cdot (2x - 1) \end{aligned}

Najveći zajednički delilac (NZD) čine zajednički faktori sa najmanjim eksponentima.

NZD(P,Q)=x(x−2)=x2−2x\text{NZD}(P, Q) = x(x - 2) = x^2 - 2x