4009.

612.đ

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: 3x2−4x+1 3x^2 - 4x + 1 i 4x4−5x3+x2. 4x^4 - 5x^3 + x^2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti prvi polinom P(x)=3x2−4x+1 P(x) = 3x^2 - 4x + 1 na činioce. Koristimo rastavljanje srednjeg člana −4x=−3x−x. -4x = -3x - x .

3x2−4x+1=3x2−3x−x+1=3x(x−1)−(x−1)3x^2 - 4x + 1 = 3x^2 - 3x - x + 1 = 3x(x - 1) - (x - 1)

Izvlačimo zajednički faktor (x−1). (x - 1) .

P(x)=(x−1)(3x−1)P(x) = (x - 1)(3x - 1)

Sada rastavljamo drugi polinom Q(x)=4x4−5x3+x2. Q(x) = 4x^4 - 5x^3 + x^2 . Prvo izvlačimo x2 x^2 kao zajednički faktor.

Q(x)=x2(4x2−5x+1)Q(x) = x^2(4x^2 - 5x + 1)

Rastavljamo kvadratni trinom 4x2−5x+1 4x^2 - 5x + 1 unutar zagrade koristeći rastavljanje srednjeg člana −5x=−4x−x. -5x = -4x - x .

4x2−4x−x+1=4x(x−1)−(x−1)=(x−1)(4x−1)4x^2 - 4x - x + 1 = 4x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(4x - 1)

Zapisujemo potpuno rastavljen oblik polinoma Q(x). Q(x) .

Q(x)=x2(x−1)(4x−1)Q(x) = x^2(x - 1)(4x - 1)

Najveći zajednički delilac (NZD) je proizvod zajedničkih činilaca sa najmanjim eksponentom koji se pojavljuju u oba polinoma. Upoređujemo rastavljene oblike:

P(x)=(x−1)(3x−1)Q(x)=x2(x−1)(4x−1)\begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(3x - 1) \\ Q(x) &= x^2(x - 1)(4x - 1) \end{aligned}

Jedini zajednički činilac za oba polinoma je (x−1). (x - 1) .

NZD(P,Q)=x−1\text{NZD}(P, Q) = x - 1