3399.

188

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji prirodan broj koji i pri deljenju sa 12 12 i pri deljenju sa 28 28 daje ostatak 7. 7 .

REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi broj n. n . Prema uslovu zadatka, pri deljenju broja n n sa 12 12 i sa 28 28 dobijamo ostatak 7. 7 . To možemo zapisati pomoću količnika q1 q_1 i q2: q_2 :

n=12⋅q1+7n=28⋅q2+7\begin{aligned} n &= 12 \cdot q_1 + 7 \\ n &= 28 \cdot q_2 + 7 \end{aligned}

Ako od broja n n oduzmemo ostatak 7, 7 , dobijeni broj n−7 n - 7 biće deljiv bez ostatka i sa 12 12 i sa 28. 28 .

n−7=12⋅q1n−7=28⋅q2\begin{aligned} n - 7 &= 12 \cdot q_1 \\ n - 7 &= 28 \cdot q_2 \end{aligned}

Pošto tražimo najmanji takav prirodan broj n, n , broj n−7 n - 7 mora biti najmanji zajednički sadržalac (NZS) za brojeve 12 12 i 28. 28 .

n−7=NZS(12,28)n - 7 = \text{NZS}(12, 28)

Da bismo odredili NZS, prvo ćemo rastaviti brojeve 12 12 i 28 28 na proste činioce (kanonska faktorizacija).

12=22⋅328=22⋅7\begin{aligned} 12 &= 2^2 \cdot 3 \\ 28 &= 2^2 \cdot 7 \end{aligned}

Najmanji zajednički sadržalac dobijamo kao proizvod svih prostih činilaca koji se pojavljuju u faktorizaciji, uzetih sa najvećim izložiocem.

NZS(12,28)=22⋅3⋅7=4⋅21=84\text{NZS}(12, 28) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84

Sada možemo izračunati traženi broj n. n .

n−7=84n=84+7n=91\begin{aligned} n - 7 &= 84 \\ n &= 84 + 7 \\ n &= 91 \end{aligned}

Najmanji prirodan broj koji ispunjava uslove zadatka je 91. 91 .

n=91n = 91