4087.

623.z

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

a6+a4−a2−1a8−a6+a2−1\frac{a^6 + a^4 - a^2 - 1}{a^8 - a^6 + a^2 - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati brojilac. Grupisaćemo prvi i drugi član, kao i treći i četvrti član:

a6+a4−a2−1=(a6+a4)−(a2+1)a^6 + a^4 - a^2 - 1 = (a^6 + a^4) - (a^2 + 1)

Izvlačimo zajedničke faktore iz svake grupe. Iz prve grupe izvlačimo a4: a^4 :

a4(a2+1)−1(a2+1)a^4(a^2 + 1) - 1(a^2 + 1)

Sada izvlačimo zajedničku zagradu (a2+1): (a^2 + 1) :

(a2+1)(a4−1)(a^2 + 1)(a^4 - 1)

Izraz a4−1 a^4 - 1 možemo rastaviti kao razliku kvadrata:

(a2+1)(a2−1)(a2+1)=(a2−1)(a2+1)2(a^2 + 1)(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1)^2

Sada ćemo faktorisati imenilac. Grupisaćemo prvi i drugi član, kao i treći i četvrti član:

a8−a6+a2−1=(a8−a6)+(a2−1)a^8 - a^6 + a^2 - 1 = (a^8 - a^6) + (a^2 - 1)

Izvlačimo zajednički faktor a6 a^6 iz prve grupe:

a6(a2−1)+1(a2−1)a^6(a^2 - 1) + 1(a^2 - 1)

Izvlačimo zajedničku zagradu (a2−1): (a^2 - 1) :

(a2−1)(a6+1)(a^2 - 1)(a^6 + 1)

Vraćamo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak:

(a2−1)(a2+1)2(a2−1)(a6+1)\frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)^2}{(a^2 - 1)(a^6 + 1)}

Skraćujemo razlomak sa a2−1 a^2 - 1 (uz uslov da je a≠±1 a \neq \pm 1 ):

(a2+1)2a6+1\frac{(a^2 + 1)^2}{a^6 + 1}

Imenilac a6+1 a^6 + 1 možemo faktorisati kao zbir kubova, jer je a6+1=(a2)3+13: a^6 + 1 = (a^2)^3 + 1^3 :

a6+1=(a2+1)((a2)2−a2⋅1+12)=(a2+1)(a4−a2+1)a^6 + 1 = (a^2 + 1)((a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)

Zamenjujemo ovo u imenilac razlomka:

(a2+1)2(a2+1)(a4−a2+1)\frac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)}

Skraćujemo razlomak sa a2+1: a^2 + 1 :

a2+1a4−a2+1\frac{a^2 + 1}{a^4 - a^2 + 1}