4096.

623.k

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći racionalni izraz:

x10−1x6−x5+x−1\frac{x^{10} - 1}{x^6 - x^5 + x - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenilac metodom grupisanja članova.

x6−x5+x−1=x5(x−1)+1(x−1)=(x−1)(x5+1)x^6 - x^5 + x - 1 = x^5(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^5 + 1)

Sada ćemo faktorisati brojilac kao razliku kvadrata, prepoznajući da je x10=(x5)2. x^{10} = (x^5)^2 .

x10−1=(x5)2−12=(x5−1)(x5+1)x^{10} - 1 = (x^5)^2 - 1^2 = (x^5 - 1)(x^5 + 1)

Zamenjujemo dobijene faktorisane oblike u početni izraz.

(x5−1)(x5+1)(x−1)(x5+1)\frac{(x^5 - 1)(x^5 + 1)}{(x - 1)(x^5 + 1)}

Skraćujemo zajednički faktor x5+1 x^5 + 1 u brojiocu i imeniocu (uz uslov da je x≠−1 x \neq -1 ).

x5−1x−1\frac{x^5 - 1}{x - 1}

Primenjujemo formulu za razliku n-tih stepena na brojilac x5−1. x^5 - 1 .

x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Zamenjujemo rastavljeni brojilac u izraz i skraćujemo zajednički faktor x−1 x - 1 (uz uslov da je x≠1 x \neq 1 ).

(x−1)(x4+x3+x2+x+1)x−1=x4+x3+x2+x+1\frac{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Konačan uprošćen oblik izraza je:

x4+x3+x2+x+1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1