4234.

639.a

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

1x−1+2x+1x2−1−3x2+5x−11−x3\frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^2-1} - \frac{3x^2+5x-1}{1-x^3}
REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo imenioce kako bismo odredili uslove definisanosti i našli zajednički imenilac. Koristimo razliku kvadrata i razliku kubova.

x2−1=(x−1)(x+1)1−x3=−(x3−1)=−(x−1)(x2+x+1)\begin{aligned} x^2-1 &= (x-1)(x+1) \\ 1-x^3 &= -(x^3-1) = -(x-1)(x^2+x+1) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli. Kvadratni trinom x2+x+1 x^2+x+1 nema realne nule jer je njegova diskriminanta manja od nule (Δ=−3 \Delta = -3 ).

x−1≠0  ⟹  x≠1x+1≠0  ⟹  x≠−1\begin{aligned} x-1 &\neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 &\neq 0 \implies x \neq -1 \end{aligned}

Zapisujemo početni izraz koristeći faktorisane imenioce. Znak minus ispred trećeg razlomka i minus iz imenioca daju plus.

1x−1+2x+1(x−1)(x+1)+3x2+5x−1(x−1)(x2+x+1)\frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Prvo sabiramo prva dva razlomka radi lakšeg računanja. Zajednički imenilac za njih je (x−1)(x+1). (x-1)(x+1) .

1⋅(x+1)+(2x+1)(x−1)(x+1)+3x2+5x−1(x−1)(x2+x+1)\frac{1 \cdot (x+1) + (2x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Sređujemo brojilac prvog razlomka.

x+1+2x+1(x−1)(x+1)+3x2+5x−1(x−1)(x2+x+1)=3x+2(x−1)(x+1)+3x2+5x−1(x−1)(x2+x+1)\frac{x+1+2x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Sada tražimo najmanji zajednički sadržalac za preostala dva razlomka. To je (x−1)(x+1)(x2+x+1). (x-1)(x+1)(x^2+x+1) .

(3x+2)(x2+x+1)+(3x2+5x−1)(x+1)(x−1)(x+1)(x2+x+1)\frac{(3x+2)(x^2+x+1) + (3x^2+5x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Množimo polinome u brojiocu.

(3x3+3x2+3x+2x2+2x+2)+(3x3+3x2+5x2+5x−x−1)(x−1)(x+1)(x2+x+1)\frac{(3x^3+3x^2+3x+2x^2+2x+2) + (3x^3+3x^2+5x^2+5x-x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Grupišemo slične monome unutar zagrada.

(3x3+5x2+5x+2)+(3x3+8x2+4x−1)(x−1)(x+1)(x2+x+1)\frac{(3x^3+5x^2+5x+2) + (3x^3+8x^2+4x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Sabiramo sve članove kako bismo dobili konačan izraz. Uslovi definisanosti su x≠1 x \neq 1 i x≠−1. x \neq -1 .

6x3+13x2+9x+1(x−1)(x+1)(x2+x+1)\frac{6x^3 + 13x^2 + 9x + 1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}