4247.

643.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

[x2+4x+4x(x2+2x+4x+2−3xx3−8)]:x+23x−6\left[ \frac{x^2+4x+4}{x} \left( \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3x}{x^3-8} \right) \right] : \frac{x+2}{3x-6}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, kao ni brojilac delioca. Domen je x∈R∖{−2,0,2}. x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\} .

x≠0x+2≠0  ⟹  x≠−2x3−8≠0  ⟹  x≠23x−6≠0  ⟹  x≠2\begin{aligned} &x \neq 0 \\ &x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \\ &x^3-8 \neq 0 \implies x \neq 2 \\ &3x-6 \neq 0 \implies x \neq 2 \end{aligned}

Faktorišemo polinome u izrazu:

x2+4x+4=(x+2)2x3−8=(x−2)(x2+2x+4)3x−6=3(x−2)\begin{aligned} x^2+4x+4 &= (x+2)^2 \\ x^3-8 &= (x-2)(x^2+2x+4) \\ 3x-6 &= 3(x-2) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

[(x+2)2x(x2+2x+4x+2−3x(x−2)(x2+2x+4))]:x+23(x−2)\left[ \frac{(x+2)^2}{x} \left( \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3x}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right) \right] : \frac{x+2}{3(x-2)}

Deljenje razlomkom prevodimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću:

[(x+2)2x(x2+2x+4x+2−3x(x−2)(x2+2x+4))]⋅3(x−2)x+2\left[ \frac{(x+2)^2}{x} \left( \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3x}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right) \right] \cdot \frac{3(x-2)}{x+2}

Množimo prvo razlomke izvan male zagrade radi lakšeg računanja (koristimo asocijativnost i komutativnost):

((x+2)2x⋅3(x−2)x+2)(x2+2x+4x+2−3x(x−2)(x2+2x+4))\left( \frac{(x+2)^2}{x} \cdot \frac{3(x-2)}{x+2} \right) \left( \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3x}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right)

Računamo proizvod spoljašnjih razlomaka (skraćujemo izraz x+2 x+2 ):

3(x+2)(x−2)x(x2+2x+4x+2−3x(x−2)(x2+2x+4))\frac{3(x+2)(x-2)}{x} \left( \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3x}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right)

Množimo svaki član unutar zagrade sa dobijenim razlomkom (distributivnost):

3(x+2)(x−2)x⋅x2+2x+4x+2−3(x+2)(x−2)x⋅3x(x−2)(x2+2x+4)\frac{3(x+2)(x-2)}{x} \cdot \frac{x^2+2x+4}{x+2} - \frac{3(x+2)(x-2)}{x} \cdot \frac{3x}{(x-2)(x^2+2x+4)}

U prvom članu skraćujemo x+2: x+2 :

3(x−2)(x2+2x+4)x=3(x3−8)x\frac{3(x-2)(x^2+2x+4)}{x} = \frac{3(x^3-8)}{x}

U drugom članu skraćujemo x, x , kao i x−2: x-2 :

9x(x+2)(x−2)x(x−2)(x2+2x+4)=9(x+2)x2+2x+4\frac{9x(x+2)(x-2)}{x(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{9(x+2)}{x^2+2x+4}

Zapisujemo izraz sa uprošćenim članovima:

3(x3−8)x−9(x+2)x2+2x+4\frac{3(x^3-8)}{x} - \frac{9(x+2)}{x^2+2x+4}

Svodimo izraz na zajednički imenilac x(x2+2x+4): x(x^2+2x+4) :

3(x3−8)(x2+2x+4)−9x(x+2)x(x2+2x+4)\frac{3(x^3-8)(x^2+2x+4) - 9x(x+2)}{x(x^2+2x+4)}

Množimo polinome u brojiocu:

3(x5+2x4+4x3−8x2−16x−32)−9x2−18xx(x2+2x+4)\frac{3(x^5 + 2x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 16x - 32) - 9x^2 - 18x}{x(x^2+2x+4)}

Sređujemo brojilac i dobijamo konačan rezultat:

3x5+6x4+12x3−33x2−66x−96x(x2+2x+4)=3(x5+2x4+4x3−11x2−22x−32)x(x2+2x+4)\frac{3x^5 + 6x^4 + 12x^3 - 33x^2 - 66x - 96}{x(x^2+2x+4)} = \frac{3(x^5 + 2x^4 + 4x^3 - 11x^2 - 22x - 32)}{x(x^2+2x+4)}