4248.

644.a

TEKST ZADATKA

Uprostićemo dati izraz i odrediti uslove pod kojima je definisan:

(2a−3xa+x+2x−3aa−x−6ax−5x2a2−x2):(aa−x−2axa2−x2)\left( \frac{2a-3x}{a+x} + \frac{2x-3a}{a-x} - \frac{6ax-5x^2}{a^2-x^2} \right) : \left( \frac{a}{a-x} - \frac{2ax}{a^2-x^2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

a+x≠0  ⟹  x≠−aa−x≠0  ⟹  x≠aa2−x2≠0  ⟹  x≠±a\begin{aligned} a+x &\neq 0 \implies x \neq -a \\ a-x &\neq 0 \implies x \neq a \\ a^2-x^2 &\neq 0 \implies x \neq \pm a \end{aligned}

Fokusiramo se na prvu zagradu. Zajednički imenilac za razlomke je a2−x2=(a−x)(a+x). a^2-x^2 = (a-x)(a+x) . Proširujemo prva dva razlomka:

(2a−3x)(a−x)+(2x−3a)(a+x)−(6ax−5x2)(a−x)(a+x)\frac{(2a-3x)(a-x) + (2x-3a)(a+x) - (6ax-5x^2)}{(a-x)(a+x)}

Množimo polinome u brojiocu prve zagrade:

(2a−3x)(a−x)=2a2−2ax−3ax+3x2=2a2−5ax+3x2(2x−3a)(a+x)=2ax+2x2−3a2−3ax=−3a2−ax+2x2\begin{aligned} (2a-3x)(a-x) &= 2a^2 - 2ax - 3ax + 3x^2 = 2a^2 - 5ax + 3x^2 \\ (2x-3a)(a+x) &= 2ax + 2x^2 - 3a^2 - 3ax = -3a^2 - ax + 2x^2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u brojilac i oslobađamo se zagrada:

(2a2−5ax+3x2)+(−3a2−ax+2x2)−6ax+5x2(a−x)(a+x)\frac{(2a^2 - 5ax + 3x^2) + (-3a^2 - ax + 2x^2) - 6ax + 5x^2}{(a-x)(a+x)}

Grupišemo slične monome u brojiocu:

(2a2−3a2)+(−5ax−ax−6ax)+(3x2+2x2+5x2)(a−x)(a+x)=−a2−12ax+10x2(a−x)(a+x)\frac{(2a^2 - 3a^2) + (-5ax - ax - 6ax) + (3x^2 + 2x^2 + 5x^2)}{(a-x)(a+x)} = \frac{-a^2 - 12ax + 10x^2}{(a-x)(a+x)}

Sada prelazimo na drugu zagradu (delilac). Zajednički imenilac je takođe a2−x2=(a−x)(a+x): a^2-x^2 = (a-x)(a+x) :

a(a+x)−2ax(a−x)(a+x)\frac{a(a+x) - 2ax}{(a-x)(a+x)}

Sređujemo brojilac druge zagrade:

a2+ax−2ax(a−x)(a+x)=a2−ax(a−x)(a+x)\frac{a^2 + ax - 2ax}{(a-x)(a+x)} = \frac{a^2 - ax}{(a-x)(a+x)}

Izvlačimo zajednički činilac a a u brojiocu i skraćujemo razlomak:

a(a−x)(a−x)(a+x)=aa+x\frac{a(a-x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{a}{a+x}

Pošto delimo ovim izrazom, on ne sme biti jednak nuli, pa dodajemo još jedan uslov definisanosti:

aa+x≠0  ⟹  a≠0\frac{a}{a+x} \neq 0 \implies a \neq 0

Vraćamo se na početni izraz i menjamo zagrade dobijenim rezultatima. Deljenje razlomkom prevodimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću:

10x2−12ax−a2(a−x)(a+x)⋅a+xa\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{(a-x)(a+x)} \cdot \frac{a+x}{a}

Skraćujemo izraz sa a+x a+x (što je dozvoljeno jer je x≠−a x \neq -a ):

10x2−12ax−a2a(a−x)\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{a(a-x)}

Konačan rezultat, uz uslove x≠a, x \neq a , x≠−a x \neq -a i a≠0, a \neq 0 , glasi:

10x2−12ax−a2a(a−x)\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{a(a-x)}