4250.

645.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

[a+1+(a−1)a2(a2−1)−a2(a+1)]:[a2+12a2−4a+2+a(a−1)2−a+1a2−2a+1]\left[ \frac{a+1+(a-1)a}{2(a^2-1)} - \frac{a}{2(a+1)} \right] : \left[ \frac{a^2+1}{2a^2-4a+2} + \frac{a}{(a-1)^2} - \frac{a+1}{a^2-2a+1} \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule. Iz a2−1≠0 a^2-1 \neq 0 i (a−1)2≠0 (a-1)^2 \neq 0 dobijamo uslove:

a≠1ia≠−1a \neq 1 \quad \text{i} \quad a \neq -1

Uprošćavamo prvi deo izraza (deljenik). Sređujemo brojilac prvog razlomka i faktorišemo njegov imenilac kao razliku kvadrata.

a+1+a2−a2(a−1)(a+1)−a2(a+1)=a2+12(a−1)(a+1)−a2(a+1)\frac{a+1+a^2-a}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a}{2(a+1)} = \frac{a^2+1}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a}{2(a+1)}

Svodimo na zajednički imenilac, koji je 2(a−1)(a+1). 2(a-1)(a+1) . Drugi razlomak proširujemo sa (a−1). (a-1) .

a2+1−a(a−1)2(a−1)(a+1)\frac{a^2+1 - a(a-1)}{2(a-1)(a+1)}

Sređujemo brojilac oduzimanjem.

a2+1−a2+a2(a−1)(a+1)=a+12(a−1)(a+1)\frac{a^2+1 - a^2 + a}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{2(a-1)(a+1)}

Skraćujemo razlomak sa (a+1), (a+1) , s obzirom na to da je a≠−1. a \neq -1 .

12(a−1)\frac{1}{2(a-1)}

Sada prelazimo na drugi deo izraza (delilac). Faktorišemo imenioce: 2a2−4a+2=2(a2−2a+1)=2(a−1)2 2a^2-4a+2 = 2(a^2-2a+1) = 2(a-1)^2 i a2−2a+1=(a−1)2. a^2-2a+1 = (a-1)^2 .

a2+12(a−1)2+a(a−1)2−a+1(a−1)2\frac{a^2+1}{2(a-1)^2} + \frac{a}{(a-1)^2} - \frac{a+1}{(a-1)^2}

Svodimo na zajednički imenilac, koji je 2(a−1)2. 2(a-1)^2 . Drugi i treći razlomak proširujemo sa 2. 2 .

a2+1+2a−2(a+1)2(a−1)2\frac{a^2+1 + 2a - 2(a+1)}{2(a-1)^2}

Sređujemo brojilac.

a2+1+2a−2a−22(a−1)2=a2−12(a−1)2\frac{a^2+1 + 2a - 2a - 2}{2(a-1)^2} = \frac{a^2-1}{2(a-1)^2}

Faktorišemo brojilac kao razliku kvadrata i skraćujemo razlomak sa (a−1), (a-1) , jer je a≠1. a \neq 1 .

(a−1)(a+1)2(a−1)2=a+12(a−1)\frac{(a-1)(a+1)}{2(a-1)^2} = \frac{a+1}{2(a-1)}

Proveravamo uslov definisanosti za deljenje. Delilac ne sme biti nula, što potvrđuje već postavljeni uslov.

a+12(a−1)≠0  ⟹  a≠−1\frac{a+1}{2(a-1)} \neq 0 \implies a \neq -1

Vraćamo uprošćene delove u početni izraz i vršimo deljenje množenjem sa recipročnom vrednošću delioca.

12(a−1):a+12(a−1)=12(a−1)⋅2(a−1)a+1\frac{1}{2(a-1)} : \frac{a+1}{2(a-1)} = \frac{1}{2(a-1)} \cdot \frac{2(a-1)}{a+1}

Skraćujemo unakrsno sa 2(a−1) 2(a-1) i dobijamo konačan rezultat.

1a+1\frac{1}{a+1}