4251.

642.a

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: (ab+ba):(ab+ba+2)+2ab:(1a+1b)2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) : \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right) + \frac{2}{ab} : \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, pa mora važiti da su a a i b b različiti od nule.

a≠0,b≠0a \neq 0, \quad b \neq 0

Takođe, izrazi kojima delimo ne smeju biti jednaki nuli. Postavljamo uslov za prvi delilac.

ab+ba+2≠0\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \neq 0

Svodimo izraz na zajednički imenilac ab ab kako bismo našli uslov.

a2+b2+2abab≠0\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \neq 0

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

(a+b)2ab≠0  ⟹  a+b≠0  ⟹  a≠−b\frac{(a+b)^2}{ab} \neq 0 \implies a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Postavljamo uslov i za drugi delilac.

(1a+1b)2≠0\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 \neq 0

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac.

(a+bab)2≠0  ⟹  a+b≠0  ⟹  a≠−b\left( \frac{a+b}{ab} \right)^2 \neq 0 \implies a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Konačni uslovi definisanosti su:

a≠0,b≠0,a≠−ba \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a \neq -b

Sada prelazimo na uprošćavanje samog izraza. Svodimo sabirke u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

ab+ba=a2+b2ab\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}

Svodimo sabirke u drugoj zagradi na zajednički imenilac.

ab+ba+2=a2+b2+2abab=(a+b)2ab\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}

Svodimo sabirke u trećoj zagradi na zajednički imenilac.

1a+1b=a+bab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}

Zamenjujemo dobijene razlomke nazad u početni izraz.

a2+b2ab:(a+b)2ab+2ab:(a+bab)2\frac{a^2+b^2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{2}{ab} : \left( \frac{a+b}{ab} \right)^2

Kvadriramo izraz u poslednjoj zagradi.

a2+b2ab:(a+b)2ab+2ab:(a+b)2a2b2\frac{a^2+b^2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}

Deljenje razlomaka pretvaramo u množenje njihovim recipročnim vrednostima.

a2+b2ab⋅ab(a+b)2+2ab⋅a2b2(a+b)2\frac{a^2+b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}

Skraćujemo razlomke gde je to moguće. U prvom proizvodu skraćujemo ab, ab , a u drugom ab ab i a2b2. a^2b^2 .

a2+b2(a+b)2+2ab(a+b)2\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2} + \frac{2ab}{(a+b)^2}

Sabiramo razlomke jer imaju iste imenioce.

a2+b2+2ab(a+b)2\frac{a^2+b^2+2ab}{(a+b)^2}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

(a+b)2(a+b)2\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}

Skraćujemo brojilac i imenilac, s obzirom na to da je a≠−b a \neq -b (odnosno a+b≠0 a+b \neq 0 ).

11