4259.

641.d

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

2a2b+2ab23a2+6ab+3b2:1a+b−(1b2−1a2)⋅a3b33a2−3b2\frac{2a^2b+2ab^2}{3a^2+6ab+3b^2} : \frac{1}{a+b} - \left( \frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} \right) \cdot \frac{a^3b^3}{3a^2-3b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule. Iz imenilaca dobijamo sledeće uslove:

a≠0,b≠0,a≠b,a≠−ba \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a \neq b, \quad a \neq -b

Faktorišemo brojilac i imenilac prvog razlomka. U brojiocu izvlačimo zajednički činilac 2ab, 2ab , a u imeniocu izvlačimo 3 3 i prepoznajemo kvadrat binoma.

2a2b+2ab23a2+6ab+3b2=2ab(a+b)3(a2+2ab+b2)=2ab(a+b)3(a+b)2\frac{2a^2b+2ab^2}{3a^2+6ab+3b^2} = \frac{2ab(a+b)}{3(a^2+2ab+b^2)} = \frac{2ab(a+b)}{3(a+b)^2}

Deljenje razlomkom 1a+b \frac{1}{a+b} zamenjujemo množenjem sa njegovom recipročnom vrednošću a+b. a+b . Zatim množimo i skraćujemo prvi deo izraza.

2ab(a+b)3(a+b)2⋅(a+b)=2ab(a+b)23(a+b)2=2ab3\frac{2ab(a+b)}{3(a+b)^2} \cdot (a+b) = \frac{2ab(a+b)^2}{3(a+b)^2} = \frac{2ab}{3}

Sada svodimo razlomke u zagradi na zajednički imenilac a2b2. a^2b^2 .

1b2−1a2=a2−b2a2b2\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2b^2}

Faktorišemo imenilac razlomka kojim se množi zagrada, izvlačenjem zajedničkog činioca 3. 3 .

a3b33a2−3b2=a3b33(a2−b2)\frac{a^3b^3}{3a^2-3b^2} = \frac{a^3b^3}{3(a^2-b^2)}

Množimo dobijene izraze iz prethodna dva koraka i skraćujemo zajedničke činioce a2−b2 a^2-b^2 i a2b2. a^2b^2 .

a2−b2a2b2⋅a3b33(a2−b2)=ab3\frac{a^2-b^2}{a^2b^2} \cdot \frac{a^3b^3}{3(a^2-b^2)} = \frac{ab}{3}

Na kraju, zamenjujemo dobijene rezultate u početni izraz i vršimo oduzimanje.

2ab3−ab3=ab3\frac{2ab}{3} - \frac{ab}{3} = \frac{ab}{3}