4258.

645.v

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

(1+b2+c2−a22bc)⋅[(1a−1b+c):(1a+1b+c)]:c+b−aabc\left( 1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \cdot \left[ \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} \right) : \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \right) \right] : \frac{c+b-a}{abc}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izrazi kojima se deli.

a≠0,b≠0,c≠0,b+c≠0,a+b+c≠0,b+c−a≠0a \neq 0, \quad b \neq 0, \quad c \neq 0, \quad b+c \neq 0, \quad a+b+c \neq 0, \quad b+c-a \neq 0

Sređujemo prvi izraz u zagradi svođenjem na zajednički imenilac i primenom formule za kvadrat binoma, a zatim i za razliku kvadrata.

1+b2+c2−a22bc=2bc+b2+c2−a22bc=(b+c)2−a22bc=(b+c−a)(b+c+a)2bc1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}

Zatim, računamo izraze u srednjoj zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

1a−1b+c=b+c−aa(b+c)i1a+1b+c=b+c+aa(b+c)\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c-a}{a(b+c)} \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{b+c+a}{a(b+c)}

Delimo dobijene razlomke unutar srednje zagrade.

b+c−aa(b+c):b+c+aa(b+c)=b+c−aa(b+c)⋅a(b+c)b+c+a=b+c−ab+c+a\frac{b+c-a}{a(b+c)} : \frac{b+c+a}{a(b+c)} = \frac{b+c-a}{a(b+c)} \cdot \frac{a(b+c)}{b+c+a} = \frac{b+c-a}{b+c+a}

Množimo rezultat prve zagrade sa rezultatom srednje zagrade.

(b+c−a)(b+c+a)2bc⋅b+c−ab+c+a=(b+c−a)22bc\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} \cdot \frac{b+c-a}{b+c+a} = \frac{(b+c-a)^2}{2bc}

Na kraju, delimo dobijeni izraz sa poslednjim razlomkom.

(b+c−a)22bc:c+b−aabc=(b+c−a)22bc⋅abcb+c−a\frac{(b+c-a)^2}{2bc} : \frac{c+b-a}{abc} = \frac{(b+c-a)^2}{2bc} \cdot \frac{abc}{b+c-a}

Skraćujemo razlomak kako bismo dobili konačan rezultat.

(b+c−a)2⋅abc2bc⋅(b+c−a)=a(b+c−a)2\frac{(b+c-a)^2 \cdot abc}{2bc \cdot (b+c-a)} = \frac{a(b+c-a)}{2}