4262.

646.v

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

9−3xx2−6x+9⋅x3−272x2+6x+18\frac{9-3x}{x^2-6x+9} \cdot \frac{x^3-27}{2x^2+6x+18}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili izraz, prvo ćemo faktorisati polinome u brojiocima i imeniocima.

Faktorišemo prvi brojilac izdvajanjem zajedničkog činioca:

9−3x=−3(x−3)9-3x = -3(x-3)

Prvi imenilac je kvadrat binoma:

x2−6x+9=(x−3)2x^2-6x+9 = (x-3)^2

Drugi brojilac je razlika kubova:

x3−27=x3−33=(x−3)(x2+3x+9)x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)

Faktorišemo drugi imenilac izdvajanjem zajedničkog činioca:

2x2+6x+18=2(x2+3x+9)2x^2+6x+18 = 2(x^2+3x+9)

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

−3(x−3)(x−3)2⋅(x−3)(x2+3x+9)2(x2+3x+9)\frac{-3(x-3)}{(x-3)^2} \cdot \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{2(x^2+3x+9)}

Pre skraćivanja, određujemo uslove definisanosti. Imenioci moraju biti različiti od nule:

(x−3)2≠0i2(x2+3x+9)≠0(x-3)^2 \neq 0 \quad \text{i} \quad 2(x^2+3x+9) \neq 0

Iz prvog uslova dobijamo:

x−3≠0  ⟹  x≠3x-3 \neq 0 \implies x \neq 3

Za drugi uslov, posmatramo kvadratni trinom x2+3x+9. x^2+3x+9 . Njegova diskriminanta je D=32−4⋅1⋅9=9−36=−27<0. D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 . Pošto je diskriminanta negativna i koeficijent uz x2 x^2 pozitivan, trinom je uvek veći od nule za svako realno x. x . Dakle, drugi imenilac nikada nije nula.

x2+3x+9>0za svako x∈Rx^2+3x+9 > 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Konačan uslov definisanosti je:

x≠3x \neq 3

Sada možemo da skratimo izraz. Skraćujemo x2+3x+9 x^2+3x+9 u drugom razlomku:

−3(x−3)(x−3)2⋅x−32\frac{-3(x-3)}{(x-3)^2} \cdot \frac{x-3}{2}

Množimo preostale razlomke:

−3(x−3)(x−3)2(x−3)2=−3(x−3)22(x−3)2\frac{-3(x-3)(x-3)}{2(x-3)^2} = \frac{-3(x-3)^2}{2(x-3)^2}

Skraćujemo (x−3)2 (x-3)^2 (što je dozvoljeno jer je x≠3 x \neq 3 ):

−32-\frac{3}{2}