4263.

646.g

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

a2−aba4−b4⋅a2−2ab+b2a−b\frac{a^2-ab}{a^4-b^4} \cdot \frac{a^2-2ab+b^2}{a-b}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

a4−b4≠0ia−b≠0a^4-b^4 \neq 0 \quad \text{i} \quad a-b \neq 0

Rastavljamo imenioce na činioce kako bismo našli uslove:

(a2−b2)(a2+b2)≠0  ⟹  (a−b)(a+b)(a2+b2)≠0(a^2-b^2)(a^2+b^2) \neq 0 \implies (a-b)(a+b)(a^2+b^2) \neq 0

Izraz a2+b2 a^2+b^2 je uvek veći od nule za realne brojeve (jednako je nuli samo za a=b=0, a=b=0 , što je već isključeno uslovom a≠b a \neq b ), pa dobijamo konačne uslove definisanosti:

a≠bia≠−ba \neq b \quad \text{i} \quad a \neq -b

Sada faktorišemo brojioce i imenioce u datom izrazu. U prvom brojiocu izvlačimo zajednički činilac, prvi imenilac rastavljamo kao razliku kvadrata, a drugi brojilac je kvadrat binoma.

a2−ab=a(a−b)a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2)a2−2ab+b2=(a−b)2\begin{aligned} a^2-ab &= a(a-b) \\ a^4-b^4 &= (a-b)(a+b)(a^2+b^2) \\ a^2-2ab+b^2 &= (a-b)^2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni zadatak:

a(a−b)(a−b)(a+b)(a2+b2)⋅(a−b)2a−b\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a-b}

Skraćujemo razlomke. U prvom razlomku skraćujemo a−b, a-b , a u drugom takođe skraćujemo a−b. a-b .

a(a+b)(a2+b2)⋅(a−b)\frac{a}{(a+b)(a^2+b^2)} \cdot (a-b)

Množimo preostale članove kako bismo dobili konačan rezultat:

a(a−b)(a+b)(a2+b2)\frac{a(a-b)}{(a+b)(a^2+b^2)}