4274.

647.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

[b2−(a−2)2a2−(b+2)2⋅a−b−2a+b−2]:4−(a−b)2(a+b)2−4\left[ \frac{b^2 - (a - 2)^2}{a^2 - (b + 2)^2} \cdot \frac{a - b - 2}{a + b - 2} \right] : \frac{4 - (a - b)^2}{(a + b)^2 - 4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati sve polinome u brojiocima i imeniocima koristeći formulu za razliku kvadrata x2−y2=(x−y)(x+y). x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) .

Faktorišemo brojilac prvog razlomka:

b2−(a−2)2=(b−(a−2))(b+(a−2))=(b−a+2)(a+b−2)b^2 - (a - 2)^2 = (b - (a - 2))(b + (a - 2)) = (b - a + 2)(a + b - 2)

Faktorišemo imenilac prvog razlomka:

a2−(b+2)2=(a−(b+2))(a+(b+2))=(a−b−2)(a+b+2)a^2 - (b + 2)^2 = (a - (b + 2))(a + (b + 2)) = (a - b - 2)(a + b + 2)

Faktorišemo brojilac trećeg razlomka (delioca):

4−(a−b)2=22−(a−b)2=(2−(a−b))(2+(a−b))=(2−a+b)(2+a−b)4 - (a - b)^2 = 2^2 - (a - b)^2 = (2 - (a - b))(2 + (a - b)) = (2 - a + b)(2 + a - b)

Faktorišemo imenilac trećeg razlomka:

(a+b)2−4=(a+b)2−22=(a+b−2)(a+b+2)(a + b)^2 - 4 = (a + b)^2 - 2^2 = (a + b - 2)(a + b + 2)

Zamenjujemo dobijene faktorizacije u početni izraz:

[(b−a+2)(a+b−2)(a−b−2)(a+b+2)⋅a−b−2a+b−2]:(2−a+b)(2+a−b)(a+b−2)(a+b+2)\left[ \frac{(b - a + 2)(a + b - 2)}{(a - b - 2)(a + b + 2)} \cdot \frac{a - b - 2}{a + b - 2} \right] : \frac{(2 - a + b)(2 + a - b)}{(a + b - 2)(a + b + 2)}

Pre skraćivanja, određujemo uslove definisanosti. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, kao i brojilac delioca (jer se njime deli).

a−b−2≠0  ⟹  a−b≠2a+b+2≠0  ⟹  a+b≠−2a+b−2≠0  ⟹  a+b≠22−a+b≠0  ⟹  a−b≠22+a−b≠0  ⟹  a−b≠−2\begin{aligned} a - b - 2 &\neq 0 \implies a - b \neq 2 \\ a + b + 2 &\neq 0 \implies a + b \neq -2 \\ a + b - 2 &\neq 0 \implies a + b \neq 2 \\ 2 - a + b &\neq 0 \implies a - b \neq 2 \\ 2 + a - b &\neq 0 \implies a - b \neq -2 \end{aligned}

Uslove definisanosti možemo kraće zapisati kao:

a+b≠±2ia−b≠±2a + b \neq \pm 2 \quad \text{i} \quad a - b \neq \pm 2

Skraćujemo razlomke unutar srednje zagrade. Članovi a+b−2 a + b - 2 i a−b−2 a - b - 2 se skraćuju.

b−a+2a+b+2:(2−a+b)(2+a−b)(a+b−2)(a+b+2)\frac{b - a + 2}{a + b + 2} : \frac{(2 - a + b)(2 + a - b)}{(a + b - 2)(a + b + 2)}

Deljenje razlomkom zamenjujemo množenjem njegovom recipročnom vrednošću.

b−a+2a+b+2⋅(a+b−2)(a+b+2)(2−a+b)(2+a−b)\frac{b - a + 2}{a + b + 2} \cdot \frac{(a + b - 2)(a + b + 2)}{(2 - a + b)(2 + a - b)}

Primećujemo da je b−a+2=2−a+b. b - a + 2 = 2 - a + b . Skraćujemo zajedničke članove 2−a+b 2 - a + b i a+b+2. a + b + 2 .

11⋅a+b−22+a−b\frac{1}{1} \cdot \frac{a + b - 2}{2 + a - b}

Zapisujemo konačan uprošćen izraz.

a+b−2a−b+2\frac{a + b - 2}{a - b + 2}