4275.

647.b

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

[(3aa3−b3:a+ba2+ab+b2−3b−a):2a+ba2+2ab+b2]:a+b3\left[ \left( \frac{3a}{a^3 - b^3} : \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} - \frac{3}{b - a} \right) : \frac{2a + b}{a^2 + 2ab + b^2} \right] : \frac{a + b}{3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci i izrazi kojima se deli moraju biti različiti od nule:

a3−b3≠0⇒a≠ba+b≠0⇒a≠−bb−a≠0⇒a≠ba2+2ab+b2≠0⇒(a+b)2≠0⇒a≠−b2a+b≠0⇒b≠−2a\begin{aligned} a^3 - b^3 &\neq 0 \Rightarrow a \neq b \\ a + b &\neq 0 \Rightarrow a \neq -b \\ b - a &\neq 0 \Rightarrow a \neq b \\ a^2 + 2ab + b^2 &\neq 0 \Rightarrow (a+b)^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -b \\ 2a + b &\neq 0 \Rightarrow b \neq -2a \end{aligned}

Faktorišemo imenioce koristeći formule za razliku kubova i kvadrat binoma:

[(3a(a−b)(a2+ab+b2):a+ba2+ab+b2−3b−a):2a+b(a+b)2]:a+b3\left[ \left( \frac{3a}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} : \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} - \frac{3}{b - a} \right) : \frac{2a + b}{(a + b)^2} \right] : \frac{a + b}{3}

Deo u unutrašnjoj zagradi pretvaramo u množenje recipročnom vrednošću i skraćujemo a2+ab+b2: a^2 + ab + b^2 :

3a(a−b)(a2+ab+b2)⋅a2+ab+b2a+b=3a(a−b)(a+b)\frac{3a}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{3a}{(a - b)(a + b)}

Sada izraz u unutrašnjoj zagradi postaje:

3a(a−b)(a+b)−3b−a\frac{3a}{(a - b)(a + b)} - \frac{3}{b - a}

Menjamo znak u drugom razlomku koristeći svojstvo b−a=−(a−b) b - a = -(a - b) kako bismo dobili zajednički imenilac:

3a(a−b)(a+b)+3a−b\frac{3a}{(a - b)(a + b)} + \frac{3}{a - b}

Svodimo na zajednički imenilac (a−b)(a+b): (a - b)(a + b) :

3a+3(a+b)(a−b)(a+b)=3a+3a+3b(a−b)(a+b)=6a+3b(a−b)(a+b)=3(2a+b)(a−b)(a+b)\frac{3a + 3(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{3a + 3a + 3b}{(a - b)(a + b)} = \frac{6a + 3b}{(a - b)(a + b)} = \frac{3(2a + b)}{(a - b)(a + b)}

Vraćamo dobijeni rezultat u srednju zagradu i deljenje pretvaramo u množenje recipročnom vrednošću:

3(2a+b)(a−b)(a+b)⋅(a+b)22a+b\frac{3(2a + b)}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{2a + b}

Skraćujemo iste članove 2a+b 2a + b i a+b: a + b :

3(a+b)a−b\frac{3(a + b)}{a - b}

Na kraju, delimo dobijeni izraz sa a+b3, \frac{a + b}{3} , što je ekvivalentno množenju sa recipročnom vrednošću:

3(a+b)a−b⋅3a+b\frac{3(a + b)}{a - b} \cdot \frac{3}{a + b}

Skraćujemo a+b a + b i dobijamo konačan rezultat:

9a−b\frac{9}{a - b}