4276. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i navedi uslove definisanosti:

\left( \frac{3}{x - y} + \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} : \frac{x^3 - y^3}{3x} \right) \cdot \frac{x^2 + 2xy + y^2}{9(2x + y)} : \frac{x + y}{3}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je izraz definisan. Imenioci i delioci ne smeju biti jednaki nuli:

\begin{aligned} x - y &\neq 0 \Rightarrow x \neq y \\ x + y &\neq 0 \Rightarrow x \neq -y \\ 3x &\neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \\ 2x + y &\neq 0 \Rightarrow y \neq -2x \end{aligned}

Fokusiramo se na deljenje unutar zagrade. Koristimo formulu za razliku kubova $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ i pretvaramo deljenje u množenje recipročnom vrednošću.

\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} \cdot \frac{3x}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Skraćujemo zajednički faktor $x^2 + xy + y^2 .$

\frac{1}{x + y} \cdot \frac{3x}{x - y} = \frac{3x}{(x + y)(x - y)}

Sada sabiramo razlomke unutar zagrade svođenjem na zajednički imenilac $(x - y)(x + y) .$

\frac{3}{x - y} + \frac{3x}{(x + y)(x - y)} = \frac{3(x + y) + 3x}{(x - y)(x + y)}

Sređujemo brojilac i izdvajamo zajednički faktor.

\frac{3x + 3y + 3x}{(x - y)(x + y)} = \frac{6x + 3y}{(x - y)(x + y)} = \frac{3(2x + y)}{(x - y)(x + y)}

Vraćamo dobijeni rezultat u početni izraz. Primenjujemo formulu za kvadrat binoma $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ i pretvaramo poslednje deljenje u množenje recipročnom vrednošću.

\frac{3(2x + y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x + y)^2}{9(2x + y)} \cdot \frac{3}{x + y}

Množimo sve razlomke i grupišemo činioce u brojiocu i imeniocu.

\frac{3(2x + y) \cdot (x + y)^2 \cdot 3}{(x - y)(x + y) \cdot 9(2x + y) \cdot (x + y)}

Sređujemo izraz pre skraćivanja.

\frac{9(2x + y)(x + y)^2}{9(x - y)(2x + y)(x + y)^2}

Skraćujemo zajedničke faktore $9 ,$ $2x + y$ i $(x + y)^2$ kako bismo dobili konačan rezultat.

\frac{1}{x - y}

648.v