4283.

650.b

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

ab−2−3baab+3ba−4\frac{\frac{a}{b}-2-\frac{3b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{3b}{a}-4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, pa mora važiti a≠0 a \neq 0 i b≠0. b \neq 0 .

a≠0,b≠0a \neq 0, \quad b \neq 0

Takođe, glavni imenilac ne sme biti jednak nuli.

ab+3ba−4≠0\frac{a}{b}+\frac{3b}{a}-4 \neq 0

Svođenjem na zajednički imenilac ab ab dobijamo sledeći uslov:

a2+3b2−4abab≠0  ⟹  a2−4ab+3b2≠0\frac{a^2 + 3b^2 - 4ab}{ab} \neq 0 \implies a^2 - 4ab + 3b^2 \neq 0

Faktorišemo dobijeni izraz kako bismo našli uslove za a a i b. b .

a2−3ab−ab+3b2=a(a−3b)−b(a−3b)=(a−b)(a−3b)≠0a^2 - 3ab - ab + 3b^2 = a(a-3b) - b(a-3b) = (a-b)(a-3b) \neq 0

Iz ovoga zaključujemo dodatne uslove definisanosti:

a≠b,a≠3ba \neq b, \quad a \neq 3b

Sada svodimo brojilac glavnog razlomka na zajednički imenilac ab. ab .

ab−2−3ba=a2−2ab−3b2ab\frac{a}{b}-2-\frac{3b}{a} = \frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{ab}

Faktorišemo brojilac dobijenog razlomka.

a2−2ab−3b2=a2−3ab+ab−3b2=a(a−3b)+b(a−3b)=(a−3b)(a+b)a^2 - 2ab - 3b^2 = a^2 - 3ab + ab - 3b^2 = a(a-3b) + b(a-3b) = (a-3b)(a+b)

Zamenjujemo faktorisane izraze za brojilac i imenilac nazad u početni izraz.

(a−3b)(a+b)ab(a−b)(a−3b)ab\frac{\frac{(a-3b)(a+b)}{ab}}{\frac{(a-b)(a-3b)}{ab}}

Množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova dvojnog razlomka (ili skraćivanjem zajedničkog imenioca ab ab ) dobijamo:

ab(a−3b)(a+b)ab(a−b)(a−3b)\frac{ab(a-3b)(a+b)}{ab(a-b)(a-3b)}

Skraćujemo zajedničke faktore ab ab i a−3b a-3b (što je dozvoljeno jer smo utvrdili da je a≠0, a \neq 0 , b≠0 b \neq 0 i a≠3b a \neq 3b ). Konačan rezultat je:

a+ba−b\frac{a+b}{a-b}