4284.

651.d

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

15(a3bn+2)27anb5:(3an−1b)221anbn−1(n∈N)\frac{15(a^3 b^{n+2})^2}{7a^n b^5} : \frac{(3a^{n-1}b)^2}{21a^n b^{n-1}} \quad (n \in \mathbb{N})
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti. Imamo razlomke, pa imenioci ne smeju biti nula. Takođe, delimo razlomkom, pa i njegov brojilac ne sme biti nula. Pošto su u pitanju stepeni promenljivih a a i b, b , zaključujemo da one ne smeju biti jednake nuli.

a≠0ib≠0a \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje tako što prvi razlomak množimo recipročnom vrednošću drugog razlomka.

15(a3bn+2)27anb5⋅21anbn−1(3an−1b)2\frac{15(a^3 b^{n+2})^2}{7a^n b^5} \cdot \frac{21a^n b^{n-1}}{(3a^{n-1}b)^2}

Kvadriramo izraze u zagradama koristeći pravila za stepenovanje proizvoda (xy)m=xmym (xy)^m = x^m y^m i stepenovanje stepena (xm)k=xm⋅k. (x^m)^k = x^{m \cdot k} .

(a3bn+2)2=a3⋅2b(n+2)⋅2=a6b2n+4(3an−1b)2=32a(n−1)⋅2b2=9a2n−2b2\begin{aligned} (a^3 b^{n+2})^2 &= a^{3 \cdot 2} b^{(n+2) \cdot 2} = a^6 b^{2n+4} \\ (3a^{n-1}b)^2 &= 3^2 a^{(n-1) \cdot 2} b^2 = 9a^{2n-2}b^2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u izraz.

15a6b2n+47anb5⋅21anbn−19a2n−2b2\frac{15 a^6 b^{2n+4}}{7a^n b^5} \cdot \frac{21a^n b^{n-1}}{9a^{2n-2}b^2}

Množimo razlomke tako što množimo brojilac sa brojiocem, a imenilac sa imeniocem.

15⋅21⋅a6⋅an⋅b2n+4⋅bn−17⋅9⋅an⋅a2n−2⋅b5⋅b2\frac{15 \cdot 21 \cdot a^6 \cdot a^n \cdot b^{2n+4} \cdot b^{n-1}}{7 \cdot 9 \cdot a^n \cdot a^{2n-2} \cdot b^5 \cdot b^2}

Skraćujemo numeričke koeficijente. Proizvod u brojiocu je 15⋅21=315, 15 \cdot 21 = 315 , a u imeniocu 7⋅9=63. 7 \cdot 9 = 63 . Njihovim deljenjem dobijamo 5. 5 .

315⋅a6⋅an⋅b2n+4⋅bn−163⋅an⋅a2n−2⋅b5⋅b2=5⋅a6⋅an⋅b2n+4⋅bn−1an⋅a2n−2⋅b5⋅b2\frac{315 \cdot a^6 \cdot a^n \cdot b^{2n+4} \cdot b^{n-1}}{63 \cdot a^n \cdot a^{2n-2} \cdot b^5 \cdot b^2} = \frac{5 \cdot a^6 \cdot a^n \cdot b^{2n+4} \cdot b^{n-1}}{a^n \cdot a^{2n-2} \cdot b^5 \cdot b^2}

Primenjujemo pravilo za množenje stepena istih osnova xm⋅xk=xm+k x^m \cdot x^k = x^{m+k} u brojiocu i imeniocu.

5⋅a6+n⋅b2n+4+n−1an+2n−2⋅b5+2=5an+6b3n+3a3n−2b7\frac{5 \cdot a^{6+n} \cdot b^{2n+4+n-1}}{a^{n+2n-2} \cdot b^{5+2}} = \frac{5 a^{n+6} b^{3n+3}}{a^{3n-2} b^7}

Sada primenjujemo pravilo za deljenje stepena istih osnova xmxk=xm−k. \frac{x^m}{x^k} = x^{m-k} .

5a(n+6)−(3n−2)b(3n+3)−75 a^{(n+6) - (3n-2)} b^{(3n+3) - 7}

Sređujemo eksponente kako bismo dobili konačan rezultat.

5an+6−3n+2b3n−4=5a8−2nb3n−45 a^{n+6-3n+2} b^{3n-4} = 5 a^{8-2n} b^{3n-4}