2716. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Ekstremne vrednosti funkcije $y = f(x)$ tražimo pomoću prvog izvoda. Prvi korak je nalaženje prvog izvoda funkcije.

y' = (\sin x + 2)'

Koristimo pravilo za izvod zbira i tablični izvod za sinusnu funkciju. Izvod konstante je nula.

y' = \cos x

Stacionarne tačke nalazimo iz uslova da je prvi izvod jednak nuli.

y' = 0 \implies \cos x = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu po $x .$

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Da bismo odredili prirodu ekstremnih vrednosti, računamo drugi izvod funkcije.

y'' = (\cos x)' = -\sin x

Ispitujemo znak drugog izvoda u stacionarnim tačkama za dva slučaja:

\begin{cases} x_1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ x_2 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{cases}

Za $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi :$

y''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 < 0

Pošto je drugi izvod negativan, funkcija u ovim tačkama dostiže lokalni maksimum. Računamo vrednost funkcije:

y_{max} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 = 1 + 2 = 3

Za $x_2 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi :$

y''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1 > 0

Pošto je drugi izvod pozitivan, funkcija u ovim tačkama dostiže lokalni minimum. Računamo vrednost funkcije:

y_{min} = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2 = -1 + 2 = 1

Zaključujemo da su ekstremne vrednosti funkcije:

y_{max} = 3, \quad y_{min} = 1

2716.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija