2732.

832.g

TEKST ZADATKA

Ispitati parnost i neparnost funkcije: f(x)=3∣sin⁡x∣. f(x) = 3^{|\sin x|} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve jer su sinusna i eksponencijalna funkcija definisane na celom skupu R. \mathbb{R} . Domen je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Df=RD_f = \mathbb{R}

Da bismo ispitali parnost, proveravamo uslov f(−x)=f(x) f(-x) = f(x) (parna) ili f(−x)=−f(x) f(-x) = -f(x) (neparna). Zamenjujemo x x sa −x -x u izrazu funkcije.

f(−x)=3∣sin⁡(−x)∣f(-x) = 3^{|\sin(-x)|}

Koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije, gde je sin⁡(−x)=−sin⁡x. \sin(-x) = -\sin x .

f(−x)=3∣−sin⁡x∣f(-x) = 3^{|-\sin x|}

Sada definišemo apsolutnu vrednost izraza pod sinusom.

∣−sin⁡x∣={−sin⁡x,za −sin⁡x≥0−(−sin⁡x),za −sin⁡x<0|-\sin x| = \begin{cases} -\sin x, & \text{za } -\sin x \ge 0 \\ -(-\sin x), & \text{za } -\sin x < 0 \end{cases}

Kako za svaku vrednost važi ∣a∣=∣−a∣, |a| = |-a| , sledi da je ∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣. |-\sin x| = |\sin x| . Primenjujemo to na našu funkciju.

f(−x)=3∣sin⁡x∣f(-x) = 3^{|\sin x|}

Upoređivanjem dobijenog rezultata sa početnom funkcijom, vidimo da važi f(−x)=f(x). f(-x) = f(x) .

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

Zaključujemo da je funkcija parna.