2739.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f(x)=−2sin⁡(x2+π6). f(x) = -2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve, pa nema ograničenja.

Df=RD_f = \mathbb{R}

Određujemo osnovni period funkcije. Za funkciju oblika f(x)=Asin⁡(ωx+ϕ), f(x) = A \sin(\omega x + \phi) , osnovni period se računa po formuli T=2πω. T = \frac{2\pi}{\omega} .

T=2π12=4πT = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi

Nule funkcije su tačke u kojima je vrednost funkcije jednaka nuli, odnosno rešenja jednačine f(x)=0. f(x) = 0 .

−2sin⁡(x2+π6)=0  ⟹  sin⁡(x2+π6)=0-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu. Sinus je jednak nuli za celobrojne umnoške broja π. \pi .

x2+π6=kπ,k∈Z\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo x x kako bismo dobili nule funkcije.

x2=kπ−π6  ⟹  x=2kπ−π3,k∈Z\frac{x}{2} = k\pi - \frac{\pi}{6} \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Presek sa y-osom dobijamo kada u funkciju uvrstimo x=0. x = 0 .

f(0)=−2sin⁡(0+π6)=−2sin⁡π6=−2⋅12=−1f(0) = -2 \sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1

Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna (f(x)>0 f(x) > 0 ).

−2sin⁡(x2+π6)>0  ⟹  sin⁡(x2+π6)<0-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0

Sinus je negativan u trećem i četvrtom kvadrantu, odnosno između π+2kπ \pi + 2k\pi i 2π+2kπ. 2\pi + 2k\pi .

π+2kπ<x2+π6<2π+2kπ,k∈Z\pi + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po x. x .

π−π6+2kπ<x2<2π−π6+2kπ  ⟹  5π6+2kπ<x2<11π6+2kπ  ⟹  5π3+4kπ<x<11π3+4kπ\pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \implies \frac{5\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{11\pi}{3} + 4k\pi

Određujemo intervale u kojima je funkcija negativna (f(x)<0 f(x) < 0 ).

−2sin⁡(x2+π6)<0  ⟹  sin⁡(x2+π6)>0-2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0

Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu, odnosno između 2kπ 2k\pi i π+2kπ. \pi + 2k\pi .

2kπ<x2+π6<π+2kπ,k∈Z2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po x. x .

2kπ−π6<x2<π−π6+2kπ  ⟹  −π6+2kπ<x2<5π6+2kπ  ⟹  −π3+4kπ<x<5π3+4kπ2k\pi - \frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} < \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{5\pi}{3} + 4k\pi

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

f′(x)=−2cos⁡(x2+π6)⋅(x2+π6)′=−2cos⁡(x2+π6)⋅12=−cos⁡(x2+π6)f'(x) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)' = -2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{1}{2} = -\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)

Stacionarne tačke dobijamo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom.

−cos⁡(x2+π6)=0  ⟹  x2+π6=π2+kπ,k∈Z-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo jednačinu po x. x .

x2=π2−π6+kπ=π3+kπ  ⟹  x=2π3+2kπ\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi

Maksimum funkcije se dostiže kada je sin⁡(x2+π6)=−1, \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = -1 , tada je f(x)=2. f(x) = 2 .

x2+π6=3π2+2kπ  ⟹  x2=4π3+2kπ  ⟹  x=8π3+4kπ\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{8\pi}{3} + 4k\pi

Minimum funkcije se dostiže kada je sin⁡(x2+π6)=1, \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 1 , tada je f(x)=−2. f(x) = -2 .

x2+π6=π2+2kπ  ⟹  x2=π3+2kπ  ⟹  x=2π3+4kπ\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi

Funkcija raste kada je prvi izvod pozitivan (f′(x)>0 f'(x) > 0 ).

−cos⁡(x2+π6)>0  ⟹  cos⁡(x2+π6)<0-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 \implies \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0

Kosinus je negativan u drugom i trećem kvadrantu.

π2+2kπ<x2+π6<3π2+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po x. x .

π3+2kπ<x2<4π3+2kπ  ⟹  2π3+4kπ<x<8π3+4kπ\frac{\pi}{3} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies \frac{2\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{8\pi}{3} + 4k\pi

Funkcija opada kada je prvi izvod negativan (f′(x)<0 f'(x) < 0 ).

−cos⁡(x2+π6)<0  ⟹  cos⁡(x2+π6)>0-\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) < 0 \implies \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0

Kosinus je pozitivan u četvrtom i prvom kvadrantu.

−π2+2kπ<x2+π6<π2+2kπ,k∈Z-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po x. x .

−2π3+2kπ<x2<π3+2kπ  ⟹  −4π3+4kπ<x<2π3+4kπ-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies -\frac{4\pi}{3} + 4k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 4k\pi

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i našli prevojne tačke.

f′′(x)=(f′(x))′=(−cos⁡(x2+π6))′=sin⁡(x2+π6)⋅12=12sin⁡(x2+π6)f''(x) = (f'(x))' = \left( -\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \right)' = \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)

Prevojne tačke su nule drugog izvoda, što se u ovom slučaju poklapa sa nulama same funkcije.

f′′(x)=0  ⟹  sin⁡(x2+π6)=0  ⟹  x=2kπ−π3,k∈Zf''(x) = 0 \implies \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (f′′(x)>0 f''(x) > 0 ) tamo gde je sin⁡(x2+π6)>0, \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right) > 0 , što znači da je konveksna tamo gde je funkcija negativna. Konkavna je tamo gde je funkcija pozitivna.

Na osnovu sprovedene analize (nule, ekstremi, monotonost, konveksnost i periodičnost), moguće je precizno nacrtati grafik funkcije.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti