2740.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f(x)=32sin⁡(2x−π3). f(x) = \frac{3}{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) .

REŠENJE ZADATKA

**1. Domen funkcije** Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve, pa je domen funkcije skup svih realnih brojeva.

Df=RD_f = \mathbb{R}

**2. Periodičnost** Osnovni period funkcije sin⁡(kx) \sin(kx) se računa po formuli T=2πk. T = \frac{2\pi}{k} . U našem slučaju je k=2. k = 2 .

T=2π2=πT = \frac{2\pi}{2} = \pi

**3. Nule funkcije** Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine f(x)=0. f(x) = 0 .

32sin⁡(2x−π3)=0  ⟹  sin⁡(2x−π3)=0\frac{3}{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \implies \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu. Sinus je jednak nuli kada je argument jednak kπ, k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

2x−π3=kπ2x - \frac{\pi}{3} = k\pi

Izražavamo x x kako bismo dobili nule funkcije.

2x=π3+kπ  ⟹  x=π6+kπ2,k∈Z2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

**4. Znak funkcije** Funkcija je pozitivna kada je sin⁡(2x−π3)>0, \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) > 0 , odnosno kada je argument u intervalu (2kπ,π+2kπ). (2k\pi, \pi + 2k\pi) .

2kπ<2x−π3<π+2kπ2k\pi < 2x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2k\pi

Rešavamo nejednačinu po x x za pozitivan znak.

2kπ+π3<2x<4π3+2kπ  ⟹  kπ+π6<x<2π3+kπ,k∈Z2k\pi + \frac{\pi}{3} < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies k\pi + \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna kada je sin⁡(2x−π3)<0, \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) < 0 , odnosno kada je argument u intervalu (π+2kπ,2π+2kπ). (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi) .

π+2kπ<2x−π3<2π+2kπ\pi + 2k\pi < 2x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2k\pi

Rešavamo nejednačinu po x x za negativan znak.

4π3+2kπ<2x<7π3+2kπ  ⟹  2π3+kπ<x<7π6+kπ,k∈Z\frac{4\pi}{3} + 2k\pi < 2x < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi \implies \frac{2\pi}{3} + k\pi < x < \frac{7\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

**5. Parnost i neparnost** Ispitujemo da li je funkcija parna ili neparna računanjem f(−x). f(-x) .

f(−x)=32sin⁡(2(−x)−π3)=32sin⁡(−2x−π3)=−32sin⁡(2x+π3)f(-x) = \frac{3}{2} \sin \left( 2(-x) - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{3}{2} \sin \left( -2x - \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{3}{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)

Pošto f(−x)≠f(x) f(-x) \neq f(x) i f(−x)≠−f(x), f(-x) \neq -f(x) , funkcija nije ni parna ni neparna.

**6. Ekstremne vrednosti** Maksimalna vrednost funkcije sinus je 1, pa je maksimalna vrednost naše funkcije ymax=32. y_{max} = \frac{3}{2} . To se dešava kada je sinus jednak 1.

sin⁡(2x−π3)=1  ⟹  2x−π3=π2+2kπ\sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = 1 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Rešavamo po x x da nađemo tačke maksimuma.

2x=π2+π3+2kπ=5π6+2kπ  ⟹  x=5π12+kπ,k∈Z2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Minimalna vrednost funkcije sinus je -1, pa je minimalna vrednost naše funkcije ymin=−32. y_{min} = -\frac{3}{2} . To se dešava kada je sinus jednak -1.

sin⁡(2x−π3)=−1  ⟹  2x−π3=−π2+2kπ\sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = -1 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi

Rešavamo po x x da nađemo tačke minimuma.

2x=−π2+π3+2kπ=−π6+2kπ  ⟹  x=−π12+kπ,k∈Z2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

**7. Monotonost (Rast i opadanje)** Funkcija raste kada je argument u intervalu (−π2+2kπ,π2+2kπ). (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) .

−π2+2kπ<2x−π3<π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Rešavamo nejednačinu za intervale rasta.

−π6+2kπ<2x<5π6+2kπ  ⟹  −π12+kπ<x<5π12+kπ,k∈Z-\frac{\pi}{6} + 2k\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{12} + k\pi < x < \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada kada je argument u intervalu (π2+2kπ,3π2+2kπ). (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi) .

π2+2kπ<2x−π3<3π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

Rešavamo nejednačinu za intervale opadanja.

5π6+2kπ<2x<11π6+2kπ  ⟹  5π12+kπ<x<11π12+kπ,k∈Z\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \implies \frac{5\pi}{12} + k\pi < x < \frac{11\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

**8. Prevojne tačke** Prevojne tačke se nalaze tamo gde je drugi izvod jednak nuli. Za trigonometrijske funkcije oblika Asin⁡(kx+φ), A \sin(kx + \varphi) , prevojne tačke se poklapaju sa nulama funkcije.

x=π6+kπ2,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik funkcije je sinusoida sa amplitudom 32, \frac{3}{2} , periodom π \pi i faznim pomakom udesno za π6. \frac{\pi}{6} .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti