2749.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

1. Domen funkcije Funkcija je definisana za sve realne brojeve, jer kosinusna funkcija nema prekida.

2. Periodičnost Funkcija je periodična. Osnovni period računamo po formuli $T = \frac{2\pi}{\omega} ,$ gde je $\omega = 2 .$

3. Parnost i neparnost Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna računajući $f(-x) .$ Funkcija nije ni parna ni neparna.

4. Nule funkcije Rešavamo jednačinu $f(x) = 0$ da bismo našli preseke sa x-osom.

Izražavamo $x :$

5. Presek sa y-osom Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

6. Znak funkcije Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna ($f(x) > 0$). Kosinus je pozitivan kada je argument između $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ i $\frac{\pi}{2} + 2k\pi .$

Rešavamo nejednačinu po $x :$

Funkcija je negativna ($f(x) < 0$) na preostalim intervalima unutar perioda:

7. Prvi izvod i monotonost Nalazimo prvi izvod funkcije koristeći pravilo za izvod složene funkcije.

8. Ekstremne vrednosti Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

Rešavamo po $x :$

Za parne $k = 2m$ dobijamo tačke maksimuma, a za neparne $k = 2m + 1$ tačke minimuma:

Funkcija raste ($f'(x) > 0$) kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) < 0 ,$ odnosno na intervalima:

Funkcija opada ($f'(x) < 0$) kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) > 0 ,$ odnosno na intervalima:

9. Drugi izvod i konveksnost Nalazimo drugi izvod funkcije diferenciranjem prvog izvoda.

10. Prevojne tačke Izjednačavamo drugi izvod sa nulom. Primećujemo da je $f''(x) = -4f(x) ,$ pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije.

Funkcija je konveksna (okrenuta na gore, $f''(x) > 0$) kada je $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) < 0 :$

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole, $f''(x) < 0$) kada je $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$