2750. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Određujemo domen funkcije. Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

Ispitujemo periodičnost funkcije. Osnovni period funkcije oblika $\sin(ax+b)$ je $T = \frac{2\pi}{a} .$

T = \frac{2\pi}{2} = \pi

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

\frac{4}{3} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo po $x$ da bismo dobili tačne pozicije nula.

2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Računamo presek sa y-osom, odnosno vrednost funkcije za $x = 0 .$

f(0) = \frac{4}{3} \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna ( $f(x) > 0$ ) kada je sinus pozitivan.

2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < 2x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi

Deljenjem sa 2 dobijamo intervale u kojima je funkcija pozitivna.

x \in \left( -\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) kada je sinus negativan.

\pi + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi \implies \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi

Deljenjem sa 2 dobijamo intervale u kojima je funkcija negativna.

x \in \left( \frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Tražimo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost i ekstremne vrednosti.

f'(x) = \left( \frac{4}{3} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \right)' = \frac{4}{3} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 = \frac{8}{3} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

\frac{8}{3} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo tačke maksimuma. Maksimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 .$

2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad y_{max} = \frac{4}{3}

Određujemo tačke minimuma. Minimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 .$

2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad y_{min} = -\frac{4}{3}

Ispitujemo monotonost. Funkcija raste kada je prvi izvod pozitivan ( $f'(x) > 0$ ).

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies -\frac{3\pi}{8} + k\pi < x < \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada kada je prvi izvod negativan ( $f'(x) < 0$ ).

\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{\pi}{8} + k\pi < x < \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Tražimo drugi izvod funkcije da bismo ispitali konveksnost i prevojne tačke.

f''(x) = \left( \frac{8}{3} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \right)' = -\frac{16}{3} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)

Prevojne tačke se nalaze tamo gde je drugi izvod jednak nuli, što se poklapa sa nulama funkcije.

f''(x) = 0 \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je drugi izvod pozitivan ( $f''(x) > 0$ ), odnosno kada je sinus negativan.

x \in \left( \frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole) kada je drugi izvod negativan ( $f''(x) < 0$ ), odnosno kada je sinus pozitivan.

x \in \left( -\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo asimptote. S obzirom na to da je funkcija neprekidna i periodična na celom skupu realnih brojeva, ona nema asimptote.

\text{Funkcija nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.}

2750.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija