2751.

844.a

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): y=∣sin⁡x∣ y = |\sin x| ;

REŠENJE ZADATKA

Po definiciji apsolutne vrednosti, funkciju možemo zapisati kao:

∣sin⁡x∣={sin⁡x,za sin⁡x≥0−sin⁡x,za sin⁡x<0|\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{za } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } \sin x < 0 \end{cases}

1. **Domen funkcije:** Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D=RD = \mathbb{R}

2. **Periodičnost:** Osnovni period funkcije sin⁡x \sin x je 2π. 2\pi . Međutim, zbog apsolutne vrednosti važi ∣sin⁡(x+π)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣, |\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| , pa je osnovni period ove funkcije π. \pi .

T=πT = \pi

3. **Parnost:** Ispitujemo da li je funkcija parna ili neparna zamenom x x sa −x. -x .

y(−x)=∣sin⁡(−x)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣=y(x)y(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x)

Pošto je y(−x)=y(x), y(-x) = y(x) , funkcija je parna. Zbog periodičnosti i parnosti, dovoljno je detaljno ispitati funkciju na intervalu (0,π). (0, \pi) .

4. **Nule funkcije:** Rešavamo jednačinu y=0. y = 0 .

∣sin⁡x∣=0  ⟹  sin⁡x=0  ⟹  x=kπ,k∈Z|\sin x| = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

5. **Znak funkcije:** Zbog apsolutne vrednosti, funkcija je uvek nenegativna.

y≥0za svako x∈Ry \ge 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

6. **Asimptote:** Funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu R. \mathbb{R} . Takođe, nema ni horizontalne ni kose asimptote jer je periodična.

7. **Prvi izvod i monotonost:** Analiziramo funkciju na intervalu (0,π), (0, \pi) , gde je sin⁡x>0 \sin x > 0 pa važi y=sin⁡x. y = \sin x .

y′=(sin⁡x)′=cos⁡xy' = (\sin x)' = \cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke na intervalu (0,π). (0, \pi) .

cos⁡x=0  ⟹  x=π2\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu (0,π). (0, \pi) .

x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2})
x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)
cos⁡x\cos x
++
−-

Za x∈(0,π2) x \in (0, \frac{\pi}{2}) funkcija raste, a za x∈(π2,π) x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) funkcija opada. U tački x=π2 x = \frac{\pi}{2} dostiže lokalni maksimum.

ymax=sin⁡(π2)=1y_{max} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1

U tačkama x=kπ x = k\pi (gde je sin⁡x=0 \sin x = 0 ) prvi izvod nije definisan jer se levi i desni izvod razlikuju. To su ugaone tačke u kojima funkcija dostiže lokalni minimum.

ymin=0za x=kπ,k∈Zy_{min} = 0 \quad \text{za } x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

8. **Drugi izvod i konveksnost:** Računamo drugi izvod za x∈(0,π). x \in (0, \pi) .

y′′=(cos⁡x)′=−sin⁡xy'' = (\cos x)' = -\sin x

Na intervalu (0,π) (0, \pi) važi sin⁡x>0, \sin x > 0 , pa je y′′<0. y'' < 0 . Funkcija je konkavna (okrenuta nadole) na svakom intervalu (kπ,(k+1)π). (k\pi, (k+1)\pi) . Nema prevojnih tačaka.

9. **Grafik funkcije:** Na osnovu sprovedene analize, grafik se sastoji od ponavljajućih lukova sinusne funkcije koji se nalaze iznad x-ose, sa šiljcima na x-osi u tačkama x=kπ. x = k\pi .