3990.

605.d

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve a, a , b b i c c tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: A(x)=x+5 A(x) = x + 5 i B(x)=a(x−2)(x−3)+b(x−1)(x−3)+c(x−1)(x−2) B(x) = a(x - 2)(x - 3) + b(x - 1)(x - 3) + c(x - 1)(x - 2) ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati identične kanonske oblike. Prvo ćemo polinom B(x) B(x) svesti na kanonski oblik množenjem zagrada.

B(x)=a(x2−3x−2x+6)+b(x2−3x−x+3)+c(x2−2x−x+2)B(x) = a(x^2 - 3x - 2x + 6) + b(x^2 - 3x - x + 3) + c(x^2 - 2x - x + 2)

Sređujemo izraze unutar zagrada.

B(x)=a(x2−5x+6)+b(x2−4x+3)+c(x2−3x+2)B(x) = a(x^2 - 5x + 6) + b(x^2 - 4x + 3) + c(x^2 - 3x + 2)

Množimo svaki član u zagradama odgovarajućim koeficijentima a, a , b b i c. c .

B(x)=ax2−5ax+6a+bx2−4bx+3b+cx2−3cx+2cB(x) = ax^2 - 5ax + 6a + bx^2 - 4bx + 3b + cx^2 - 3cx + 2c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive x x kako bismo dobili kanonski oblik polinoma.

B(x)=(a+b+c)x2+(−5a−4b−3c)x+(6a+3b+2c)B(x) = (a + b + c)x^2 + (-5a - 4b - 3c)x + (6a + 3b + 2c)

Polinom A(x) A(x) možemo zapisati u obliku polinoma drugog stepena dodavanjem člana sa x2 x^2 koji ima koeficijent nula.

A(x)=0⋅x2+1⋅x+5A(x) = 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 5

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti uz iste stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma A(x) A(x) i B(x). B(x) .

{a+b+c=0−5a−4b−3c=16a+3b+2c=5\begin{cases} a + b + c = 0 \\ -5a - 4b - 3c = 1 \\ 6a + 3b + 2c = 5 \end{cases}

Rešavamo dobijeni sistem linearnih jednačina. Iz prve jednačine izražavamo c. c .

c=−a−bc = -a - b

Zamenjujemo c c u drugu i treću jednačinu.

{−5a−4b−3(−a−b)=16a+3b+2(−a−b)=5\begin{cases} -5a - 4b - 3(-a - b) = 1 \\ 6a + 3b + 2(-a - b) = 5 \end{cases}

Sređujemo ove dve jednačine.

{−5a−4b+3a+3b=16a+3b−2a−2b=5\begin{cases} -5a - 4b + 3a + 3b = 1 \\ 6a + 3b - 2a - 2b = 5 \end{cases}

Dobijamo uprošćen sistem od dve jednačine sa dve nepoznate.

{−2a−b=14a+b=5\begin{cases} -2a - b = 1 \\ 4a + b = 5 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine eliminišemo nepoznatu b. b .

(−2a−b)+(4a+b)=1+5  ⟹  2a=6(-2a - b) + (4a + b) = 1 + 5 \implies 2a = 6

Računamo vrednost nepoznate a. a .

a=3a = 3

Zamenjujemo vrednost a a u jednačinu 4a+b=5 4a + b = 5 kako bismo izračunali b. b .

4⋅3+b=5  ⟹  12+b=5  ⟹  b=−74 \cdot 3 + b = 5 \implies 12 + b = 5 \implies b = -7

Na kraju, računamo vrednost c c koristeći izraz c=−a−b. c = -a - b .

c=−3−(−7)=−3+7=4c = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4

Dobili smo tražene vrednosti realnih brojeva a, a , b b i c. c .

a=3,b=−7,c=4a = 3, \quad b = -7, \quad c = 4