3991.

608.a

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce polinom p(x)=x3−6x2+11x−6 p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 ako se zna da je p(1)=0. p(1) = 0 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu posledice Bezuove teoreme, pošto je p(1)=0, p(1) = 0 , zaključujemo da je polinom p(x) p(x) deljiv sa binomom x−1 x - 1 bez ostatka.

Da bismo rastavili polinom, grupisaćemo njegove članove tako da možemo da izdvojimo zajednički činilac x−1. x - 1 . Zato član −6x2 -6x^2 pišemo kao −x2−5x2, -x^2 - 5x^2 , a član 11x 11x kao 5x+6x. 5x + 6x .

p(x)=x3−x2−5x2+5x+6x−6p(x) = x^3 - x^2 - 5x^2 + 5x + 6x - 6

Izvlačimo zajedničke činioce iz svake grupe od po dva člana:

p(x)=x2(x−1)−5x(x−1)+6(x−1)p(x) = x^2(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)

Sada možemo izdvojiti x−1 x - 1 kao zajednički činilac za ceo izraz:

p(x)=(x−1)(x2−5x+6)p(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)

Preostali kvadratni trinom x2−5x+6 x^2 - 5x + 6 takođe možemo rastaviti na činioce. Napisaćemo srednji član −5x -5x kao zbir −2x−3x. -2x - 3x .

x2−5x+6=x2−2x−3x+6x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6

Grupisanjem članova dobijamo:

x2−2x−3x+6=x(x−2)−3(x−2)x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2)

Izvlačenjem zajedničkog činioca x−2 x - 2 dobijamo rastavljen kvadratni trinom:

x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Konačno, zamenjujemo rastavljeni kvadratni trinom u početni izraz kako bismo dobili polinom potpuno rastavljen na činioce.

p(x)=(x−1)(x−2)(x−3)p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)