3992.

608.b

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce polinom p(x)=x4−x3+2x2+x−3. p(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 3 .

p(x)=x4−x3+2x2+x−3p(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 3
REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, cele nule polinoma sa celobrojnim koeficijentima nalaze se među deliocima slobodnog člana. Slobodan član je −3, -3 , pa su mogući celi koreni:

x∈{−3,−1,1,3}x \in \{-3, -1, 1, 3\}

Proveravamo da li je x=1 x = 1 nula polinoma tako što računamo vrednost p(1). p(1) .

p(1)=14−13+2⋅12+1−3=1−1+2+1−3=0p(1) = 1^4 - 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 1 - 1 + 2 + 1 - 3 = 0

Pošto je p(1)=0, p(1) = 0 , na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je polinom p(x) p(x) deljiv sa x−1. x - 1 . Delimo polinom p(x) p(x) sa x−1. x - 1 .

(x4−x3+2x2+x−3):(x−1)=x3+2x+3(x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 3) : (x - 1) = x^3 + 2x + 3

Sada naš polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x)=(x−1)(x3+2x+3)p(x) = (x - 1)(x^3 + 2x + 3)

Dalje tražimo nule dobijenog polinoma trećeg stepena q(x)=x3+2x+3. q(x) = x^3 + 2x + 3 . Proveravamo da li je x=−1 x = -1 njegova nula.

q(−1)=(−1)3+2⋅(−1)+3=−1−2+3=0q(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0

Pošto je q(−1)=0, q(-1) = 0 , polinom q(x) q(x) je deljiv sa x+1. x + 1 . Delimo ova dva polinoma.

(x3+2x+3):(x+1)=x2−x+3(x^3 + 2x + 3) : (x + 1) = x^2 - x + 3

Zapisujemo polinom p(x) p(x) sa novim faktorom:

p(x)=(x−1)(x+1)(x2−x+3)p(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 3)

Proveravamo da li se kvadratni trinom x2−x+3 x^2 - x + 3 može dalje rastaviti na činioce u skupu realnih brojeva. Računamo njegovu diskriminantu.

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅3=1−12=−11D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11

Kako je diskriminanta manja od nule (D<0 D < 0 ), kvadratni trinom nema realne nule i ne može se dalje rastaviti na linearne činioce u skupu realnih brojeva. Konačan oblik rastavljenog polinoma je:

p(x)=(x−1)(x+1)(x2−x+3)p(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 3)