4000.

605.b

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve a, a , b b i c c tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: A(x)=2x3−9x2+13x−6 A(x) = 2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 i B(x)=(x−2)(ax2+bx+c) B(x) = (x - 2)(ax^2 + bx + c) ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati isti kanonski oblik. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu B(x) B(x) kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x)=x(ax2+bx+c)−2(ax2+bx+c)B(x) = x(ax^2 + bx + c) - 2(ax^2 + bx + c)

Množenjem dobijamo:

B(x)=ax3+bx2+cx−2ax2−2bx−2cB(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 2ax^2 - 2bx - 2c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive x: x :

B(x)=ax3+(b−2a)x2+(c−2b)x−2cB(x) = ax^3 + (b - 2a)x^2 + (c - 2b)x - 2c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma A(x)=2x3−9x2+13x−6 A(x) = 2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 i B(x). B(x) .

{a=2b−2a=−9c−2b=13−2c=−6\begin{cases} a = 2 \\ b - 2a = -9 \\ c - 2b = 13 \\ -2c = -6 \end{cases}

Iz prve i četvrte jednačine odmah dobijamo vrednosti za a a i c. c .

a=2,c=−6−2=3a = 2, \quad c = \frac{-6}{-2} = 3

Zamenjujemo vrednost a=2 a = 2 u drugu jednačinu i računamo b. b .

b−2⋅2=−9  ⟹  b−4=−9  ⟹  b=−5b - 2 \cdot 2 = -9 \implies b - 4 = -9 \implies b = -5

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom u treću jednačinu:

c−2b=3−2⋅(−5)=3+10=13c - 2b = 3 - 2 \cdot (-5) = 3 + 10 = 13

Treća jednačina je zadovoljena, pa su traženi realni brojevi:

a=2,b=−5,c=3a = 2, \quad b = -5, \quad c = 3