3537.

232.v

TEKST ZADATKA

Neka je x=8,5±0,3 x = 8,5 \pm 0,3 i y=4,5±0,1. y = 4,5 \pm 0,1 . Izračunati: 3xyx(x−y). \frac{3xy}{x(x - y)} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti dati izraz. Pošto je x≠0, x \neq 0 , možemo skratiti x x u brojiocu i imeniocu.

3xyx(x−y)=3yx−y\frac{3xy}{x(x - y)} = \frac{3y}{x - y}

Označimo približne vrednosti sa x′=8,5 x' = 8,5 i y′=4,5, y' = 4,5 , a njihove apsolutne greške sa Δx=0,3 \Delta x = 0,3 i Δy=0,1. \Delta y = 0,1 . Računamo približnu vrednost izraza E′. E' .

E′=3y′x′−y′=3⋅4,58,5−4,5=13,54=3,375E' = \frac{3y'}{x' - y'} = \frac{3 \cdot 4,5}{8,5 - 4,5} = \frac{13,5}{4} = 3,375

Da bismo našli apsolutnu grešku celog izraza, podelićemo ga na brojilac i imenilac. Neka je brojilac u=3y, u = 3y , a imenilac v=x−y. v = x - y . Njihove približne vrednosti su u′ u' i v′. v' .

u′=3⋅4,5=13,5v′=8,5−4,5=4\begin{aligned} u' &= 3 \cdot 4,5 = 13,5 \\ v' &= 8,5 - 4,5 = 4 \end{aligned}

Računamo apsolutnu grešku brojioca u. u . Apsolutna greška proizvoda konstante i promenljive jednaka je proizvodu apsolutne vrednosti konstante i apsolutne greške promenljive. Definišemo apsolutnu vrednost konstante 3.

∣3∣={3,za 3≥0−3,za 3<0|3| = \begin{cases} 3, & \text{za } 3 \ge 0 \\ -3, & \text{za } 3 < 0 \end{cases}

Pošto je 3≥0, 3 \ge 0 , važi ∣3∣=3. |3| = 3 . Računamo apsolutnu grešku brojioca.

Δu=3⋅Δy=3⋅0,1=0,3\Delta u = 3 \cdot \Delta y = 3 \cdot 0,1 = 0,3

Računamo apsolutnu grešku imenioca v. v . Apsolutna greška razlike jednaka je zbiru apsolutnih grešaka.

Δv=Δx+Δy=0,3+0,1=0,4\Delta v = \Delta x + \Delta y = 0,3 + 0,1 = 0,4

Za računanje apsolutne greške količnika E=uv E = \frac{u}{v} koristimo formulu ΔE=∣u′∣Δv+∣v′∣Δu(v′)2. \Delta E = \frac{|u'|\Delta v + |v'|\Delta u}{(v')^2} . Prema pravilima, prvo definišemo apsolutnu vrednost za u′. u' .

∣u′∣={u′,za u′≥0−u′,za u′<0|u'| = \begin{cases} u', & \text{za } u' \ge 0 \\ -u', & \text{za } u' < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost za v′. v' .

∣v′∣={v′,za v′≥0−v′,za v′<0|v'| = \begin{cases} v', & \text{za } v' \ge 0 \\ -v', & \text{za } v' < 0 \end{cases}

Pošto su u′=13,5≥0 u' = 13,5 \ge 0 i v′=4≥0, v' = 4 \ge 0 , zamenjujemo pozitivne vrednosti u formulu za grešku količnika.

ΔE=13,5⋅0,4+4⋅0,342\Delta E = \frac{13,5 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3}{4^2}

Računamo vrednost izraza za apsolutnu grešku.

ΔE=5,4+1,216=6,616=0,4125\Delta E = \frac{5,4 + 1,2}{16} = \frac{6,6}{16} = 0,4125

Prema standardnim pravilima, apsolutnu grešku zaokrugljujemo na jednu značajnu cifru. Broj 0,4125 0,4125 zaokrugljujemo na prvu decimalu (n=1 n = 1 ). Pošto je druga decimala 1 (manja od 5), prva decimala ostaje nepromenjena.

ΔE≈0,4\Delta E \approx 0,4

Približnu vrednost izraza zaokrugljujemo na isti broj decimala kao i grešku, odnosno na prvu decimalu. Broj 3,375 3,375 ima drugu decimalu 7 (veća od 5), pa se prva decimala uvećava za jedan.

E′≈3,4E' \approx 3,4

Konačan rezultat zapisujemo u obliku E′±ΔE E' \pm \Delta E sa zaokrugljenim vrednostima.

E=3,4±0,4E = 3,4 \pm 0,4